Cho hình \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{9}{x^3}\), cung tròn

Câu hỏi số 560604:

Vận dụng

Cho hình \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{9}{x^3}\), cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) (với \(0 \le x \le 2\)) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục hoành là \(V = \left( { - \dfrac{a}{b}\sqrt 3 + \dfrac{c}{d}} \right)\pi \), trong đó \(a,b,c,d \in {\bf{N}}*\) và \(\dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\) là các phân số tối giản. Tính \(P = a + b + c + d\).

A. \(P = 52\).

B. \(P = 40\).

C. \(P = 46\).

D. \(P = 34\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560604

Phương pháp giải

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) (nằm cùng phía so với \(Ox\)) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) quanh trục \(Ox\) là \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \)

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{9}{x^3} = \sqrt {4 - {x^2}} \Leftrightarrow x = \sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l}V = \pi \left[ {\int\limits_0^{\sqrt 3 } {{{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{9}{x^3}} \right)}^2}dx + \int\limits_{\sqrt 3 }^2 {{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2}dx} } } \right]\\ = \pi \left[ {\int\limits_0^{\sqrt 3 } {\dfrac{1}{{27}}{x^6}dx + \int\limits_{\sqrt 3 }^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} } } \right]\\ = \pi \left[ {\left. {\dfrac{1}{{27}}.\dfrac{{{x^7}}}{7}} \right|_0^{\sqrt 3 } + \left. {\left( {4x - \dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{\sqrt 3 }^2} \right]\\ = \left( { - \dfrac{{20\sqrt 3 }}{7} + \dfrac{{16}}{3}} \right)\pi \\ \Rightarrow a = 20,b = 7,c = 16,d = 3\\ \Rightarrow P = a + b + c + d = 46\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.