Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) sao
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho \(AO = 2R\) kẻ các tiếp tuyến \(AB,AC\) với đường tròn \((B,C\) là các tiếp điểm).
a) Chứng minh bốn điểm \(A,B,C,O\) cùng thuộc đường tròn.
b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC\) tính độ dài đoạn \(OH\) và \(BC\) theo \(R\).
c) Kẻ đường kính \(BD\), từ \(C\) kẻ \(CK\) vuông góc với \(BD\) tại \(K\), gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(CK\). Chứng minh rằng: \(CD//AO\) và \(I\) là trung điểm của \(CK\).
Quảng cáo
a) Vận dụng dấu hiệu: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp
b) Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
c) + \(CD//AO\)
Ta sẽ chứng minh: \(\angle AOB = \angle BDC\) mà hai góc này ở vị trí so le trong
+ \(I\) là trung điểm của \(CK\)
Dựa vào các tỉ lệ từ các tam giác đồng dạng suy ra \(IK = \dfrac{1}{2}CK\)
a) Chứng minh bốn điểm \(A,B,C,O\) cùng thuộc đường tròn.
Xét \(\left( O \right)\) có:
\(AB\) là tiếp tuyến của đường tròn tại \(B \Rightarrow \angle ABO = {90^0}\)
\(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn tại \(C \Rightarrow \angle ACO = {90^0}\)
Xét tứ giác \(ABOC\) có: \(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà \(\angle ABO,\angle ACO\) ở vị trí đối nhau
\( \Rightarrow ABOC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC\) tính độ dài đoạn \(OH\) và \(BC\) theo \(R\).
\(AB,AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Lại có: \(OB = OC = R\)
\( \Rightarrow OA\) là đường trung trực của \(BC\)
\( \Rightarrow OA \bot BC\)
Mà \(OA \cap BC = \left\{ H \right\} \Rightarrow OA \bot BC\) tại \(H\)\( \Rightarrow OA \bot BH\)
\(\Delta ABO\) vuông tại \(B\), đường cao \(BH\), ta có:
\(O{B^2} = OH.OA\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\( \Leftrightarrow OH = \dfrac{{O{B^2}}}{{OA}} = \dfrac{{{R^2}}}{{2R}} = \dfrac{R}{2}\)
Ta có: \(H\) nằm giữa \(O,A \Rightarrow OH + HA = OA\)
\( \Leftrightarrow HA = OA - OH = 2R - \dfrac{R}{2} = \dfrac{{3R}}{2}\)
\(\Delta ABO\) vuông tại \(B\), đường cao \(BH\), ta có:
\(B{H^2} = OH.HA\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow B{H^2} = \dfrac{R}{2}.\dfrac{{3R}}{2} = \dfrac{{3R}}{4}\\ \Rightarrow BH = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)
Vì \(OA\) là đường trung trực của \(BC\), mà \(BC \cap OA = \left\{ H \right\}\)
\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BC\)
\( \Rightarrow BC = 2BH = 2.\dfrac{{R\sqrt 3 }}{2} = R\sqrt 3 \)
c) Kẻ đường kính \(BD\), từ \(C\) kẻ \(CK\) vuông góc với \(BD\) tại \(K\), gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(CK\). Chứng minh rằng: \(CD//AO\) và \(I\) là trung điểm của \(CK\).
+ \(CD//AO\)
Vì tứ giác \(ABOC\) nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle AOB = \angle ACB\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))
Xét \(\left( O \right)\) có: \(\angle BDC = \angle ACB\) (góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BC\))
Suy ra, \(\angle AOB = \angle BDC\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị
Do đó, \(CD//AO\)
+ \(I\) là trung điểm của \(CK\)
Xét \(\Delta DIK\) và \(\Delta DAB\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle ADB\,\,chung\\\angle CKD = \angle ABD = {90^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta DIK \sim \Delta DAB\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{IK}}{{AB}} = \dfrac{{DK}}{{BD}}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta CKD\) và \(\Delta ABO\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle CKD = \angle ABO = {90^0}\\\angle DCK = \angle BAO\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta CKD \sim \Delta ABO\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{CK}}{{AB}} = \dfrac{{DK}}{{BO}}\)
Vì \(BD\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow OB = \dfrac{1}{2}BD\)
Do đó, \(\dfrac{{CK}}{{AB}} = \dfrac{{DK}}{{\dfrac{1}{2}BD}} \Rightarrow \dfrac{{DK}}{{BD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{CK}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2), suy ra \(\dfrac{{IK}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{CK}}{{AB}} \Rightarrow IK = \dfrac{1}{2}CK\)
Mà \(C,I,K\) thẳng hàng
\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(CK\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
