Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho các điểm \(A\left( {1;0;1} \right);\,B\left( {3;2;0}

Câu hỏi số 561316:

Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho các điểm \(A\left( {1;0;1} \right);\,B\left( {3;2;0} \right);\,C\left( {1;1; - 3} \right)\). Có tất cả bao nhiêu điểm \(M\) trong không gian thỏa mãn \(MC = 2\) và \(M{A^2} - M{B^2} = - 9\)?

A. vô số

B. \(0\)

C. \(2\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:561316

Phương pháp giải

Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\)

Tính \(\overrightarrow {CM} ;\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {BM} \)

Đưa về bài toán vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.

Giải chi tiết

Ta có: \(M\left( {x;y;z} \right)\)

\(\overrightarrow {CM} = \left( {x - 1;y - 1;z + 3} \right)\) \( \Rightarrow CM = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {z + 3} \right)}^2}} = 2\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4\)

\(\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;y;z - 1} \right)\)\( \Rightarrow AM = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}} \)

\(\overrightarrow {BM} = \left( {x - 3;y - 2;z} \right)\)\( \Rightarrow BM = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {z^2}} \)

\(M{A^2} - M{B^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} - {\left( {x - 3} \right)^2} - {\left( {y - 2} \right)^2} - {z^2} = - 9\)

\( \Leftrightarrow - 2x + 1 - 2z + 1 + 6x - 9 + 4y - 4 = - 9\)

\( \Leftrightarrow 4x + 4y - 2z - 2 = 0\)

Số điểm \(M\) trong không gian thỏa mãn là số giao điểm của mặt cầu \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4\) và mặt phẳng \(4x + 4y - 2z - 2 = 0\)

Mặt cầu có tâm \(I\left( {1;1; - 3} \right)\)

\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {4.1 + 4.1 - 2.\left( { - 3} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{{12}}{6} = 2\)\( = R\)

Vậy mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên có \(1\) điểm \(M\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.