Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD) bằng 300.

Câu hỏi số 56178:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD) bằng 30⁰.

A. V_MNABCD= $\frac{7\sqrt{3}a^{3}}{24}$ .

B. V_MNABCD= $\frac{5\sqrt{3}a^{3}}{12}$ .

C. V_MNABCD= $\frac{5\sqrt{3}a^{3}}{24}$ .

D. V_MNABCD= $\frac{\sqrt{3}a^{3}}{24}$ .

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:56178

Giải chi tiết

Trong mp(SAC) kẻ AG cắt SC tại M, trong mp(SBD) kẻ BG cắt SD tại N.

Vì G là trọng tâm tam giác SAC nên dễ có

$\frac{SG}{SO}=\frac{2}{3}$ suy ra G cũng là trọng tâm tam giác SBD.

Từ đó suy ra M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD.

Có:. V_S.ABD = V_S.BCD = $\frac{1}{2}$ V_S.ABCD = $\frac{1}{2}$ V

Theo công thức tỷ số thể tích ta có:

$\frac{V_{S.ABN}}{V_{S.ABD}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SB}{SB}.\frac{SN}{SD}$ = 1.1. $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ => V_S.ABN = $\frac{1}{4}$ V

$\frac{V_{S.BMN}}{V_{S.BCD}}=\frac{SB}{SB}.\frac{SM}{SC}.\frac{SN}{SD}$ = 1. $\frac{1}{2}$ . $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{4}$ => V_S.ABN = $\frac{1}{8}$ V

Từ đó suy ra:

V_S.ABMN = V_S.ABN + V_S.BMN = $\frac{3}{8}$ V

Ta có: V = $\frac{1}{3}$ SAdt (ABCD); mà theo giả thiết SA $\perp$ (ABCD) nên góc hợp bởi AN với

mp(ABCD) chính là góc $\widehat{NAD}$ , lại có N là trung điểm của SC nên tam giác NAD cân tại N, suy ra $\widehat{NAD}$ = $\widehat{NDA}$ =30°, Suy ra: AD = $\frac{SA}{tan30^{0}}$ = a√3

Suy ra: V = $\frac{1}{3}$ SAdt (ABCD) = $\frac{1}{3}$ a.a.a.√3 = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ . a³ 3

Suy ra: thể tích cần tìm là: V_MNABCD=V_S_.ABCD- V_S_.ABMN=V - $\frac{3}{8}$ V = $\frac{5}{8}$ V = $\frac{5\sqrt{3}a^{3}}{24}$ .

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.