a) Tìm ba chữ số tận cùng của số \({2^{512}}\)b) Tìm hai chữ số tận cùng của

Câu hỏi số 562007:

Vận dụng

a) Tìm ba chữ số tận cùng của số \({2^{512}}\)

b) Tìm hai chữ số tận cùng của \({2011^{{{2010}^{2009}}}}\)

c) Tìm ba chữ số tận cùng của \({26^{{6^{2001}}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562007

Phương pháp giải

+ \({\left( {a + b} \right)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)

Nếu \(a \vdots 25\) thì \({\left( {a + b} \right)^5} \equiv {b^5}\left( {\bmod \;125} \right)\)

+ Nếu \(a \equiv r\left( {\bmod \;100} \right)\left( {10 \le r < 100} \right) \Rightarrow r\) là chữ số tận cùng của \(a\). Ta có:

\(\begin{array}{l}a \equiv 0\left( {\bmod \;10} \right) \Rightarrow {a^{20k}} \equiv 01\left( {\bmod \;100} \right)\\a \equiv 1;3;7;9\left( {\bmod \;10} \right) \Rightarrow {a^{20k}} \equiv 01\left( {\bmod \;100} \right)\\a \equiv 5\left( {\bmod \;10} \right) \Rightarrow {a^{20k}} \equiv 25\left( {\bmod \;100} \right)\\a \equiv 2;4;6;8 \Rightarrow {a^{20k}} \equiv 76\left( {\bmod \;100} \right)\end{array}\)

Giải chi tiết

a) Vì \({2^{10}} = 1024 = - 1\left( {\bmod \;25} \right)\) nên \({2^{10}} = 25k - 1\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

\({2^{50}} = {\left( {{2^{10}}} \right)^5} = {\left( {25k - 1} \right)^5} \equiv - 1\left( {\bmod \;125} \right)\)

\( \Rightarrow {2^{512}} = {\left( {{2^{50}}} \right)^{10}}{.2^{12}} \equiv {\left( { - 1} \right)^{10}}{.2^{12}} \equiv {2^{12}}\left( {\bmod \;125} \right)\)

Mặt khác \({2^{12}} = {2^{10}}{.2^2} = 1024.4 \equiv 24.4 \equiv 96\left( {\bmod \;125} \right) \Rightarrow {2^{512}} \equiv 96\left( {\bmod \;125} \right)\)

\( \Rightarrow {2^{512}} = 125m + 96\left( {m \in \mathbb{N}} \right)\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{2^{512}} \vdots 8\\96 \vdots 8\end{array} \right. \Rightarrow m \vdots 8 \Rightarrow m = 8n\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\)

Ta được: \({2^{512}} = 125.8n + 96 = 1000n + 96 = BS\left( {096} \right)\)

Vậy ba chữ số tận cùng của \({2^{512}}\) là \(096\)

b) Ta có:

+ \(2011 \equiv 11\left( {\bmod \;100} \right)\)

+ \({11^2} \equiv 21\left( {\bmod \;100} \right)\)

+ \({11^3} = 31\left( {\bmod \;100} \right)\)

+ \({11^5} \equiv 21.31 \equiv 651\left( {\bmod \;100} \right) \Rightarrow {11^{10}} \equiv {651^2} \equiv 1\left( {\bmod \;100} \right)\)

Mặt khác \({2010^{2009}} \equiv 0\left( {\bmod \;10} \right) \Rightarrow {2010^{2009}} = 10k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Rightarrow {2011^{{{2010}^{2009}}}} = {2011^{10k}} \equiv {11^{10k}} \equiv {\left( {{{11}^{10}}} \right)^k} \equiv 1\left( {\bmod \;100} \right)\)

Vậy hai chữ số tận cùng là \(01\)

c) Ta có: \(2001 = 1000 + 1 = 8.125 + 1\)

+ Xét số dư của \(A\) khi chia cho \(125\), ta có : \({6^{2001}} \equiv 1\left( {\bmod \;5} \right) \Rightarrow {6^{2001}} = 5m + 1\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Rightarrow A = {26^{{6^{2001}}}} = {26^{5m + 1}} = 62.{\left( {{{26}^5}} \right)^m}\)

Mặt khác \({26^5} \equiv 1\left( {\bmod \;125} \right) \Rightarrow A \equiv 26\left( {\bmod \;125} \right) \Rightarrow A = 125k + 26\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

+ Xét số dư của \(A\) khi cho \(8\), ta có : \(A \vdots 8 \Rightarrow 125k + 2 \vdots 8 \Rightarrow k = 8m + 6\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Rightarrow A = 125\left( {8m + 6} \right) + 26 = 1000m + 776 = BS\left( {776} \right)\)

Vậy ba chữ số tận cùng của \(A\) là \(776\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link