Cho \({a_1};{a_2};...;{a_{2016}}\) là \(2016\) số nguyên dương. Chứng minh rằng điều kiện cần và

Câu hỏi số 562008:

Vận dụng

Cho \({a_1};{a_2};...;{a_{2016}}\) là \(2016\) số nguyên dương. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để

\(a_1^5 + a_2^5 + a_3^5 + ... + a_{2016}^5 \vdots 30\) là \({a_1} + {a_2} + ... + {a_{2016}} \vdots 30\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562008

Phương pháp giải

+ Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ chia hết cho \(1\) và chính nó.

+ Định lý Fermat bé : Cho \(a\) là số nguyên dương và \(p\) số nguyên tố. Khi đó ta luôn có \({a^p} \equiv a\left( {\bmod \;p} \right)\). Đặc biệt nếu \(\left( {a,p} \right) = 1\) thì \({a^{p - 1}} \equiv 1\left( {\bmod \;p} \right)\)

+ Nhân (chia) hai vế và mô – đun của một đồng dư thức với một số nguyên dương

\(a \equiv b\left( {\bmod \;m} \right)\) thì \(a.c \equiv b.c\left( {\bmod \;m.c} \right)\)

Giải chi tiết

Theo định lý Fermat bé, dó \(2;3;5\)là các số nguyên tố và \(a\) là số nguyên dương bất kỳ, ta có :

\(\begin{array}{l}{a^2} \equiv a\left( {\bmod \;2} \right) \Rightarrow {a^4} = {\left( {{a^2}} \right)^2} \equiv {a^2} \equiv a\left( {\bmod \;2} \right) \Rightarrow {a^5} \equiv a\left( {\bmod \;2} \right)\\{a^3} \equiv a\left( {\bmod \;3} \right) \Rightarrow {a^5} = {a^3}.{a^2} \equiv a.{a^2} \equiv {a^3} \equiv a\left( {\bmod \;3} \right)\\{a^5} \equiv a\left( {\bmod \;5} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow {a^5} \equiv a\left( {\bmod \;2.3.5} \right) \equiv a\left( {\bmod \;30} \right) \Rightarrow {a^5} - a \equiv 0\left( {\bmod \;30} \right)\)

Vậy \({a_1} + {a_2} + ... + {a_{2016}} \vdots 30 \Leftrightarrow a_1^5 + a_2^5 + ... + a_{2016}^5 \vdots 30\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link