Tìm số dư trong phép chiaa) \({2^{50}} + {41^{65}}\) cho \(7\) b) \(A = {2014^{2015}} +

Câu hỏi số 562006:

Vận dụng

Tìm số dư trong phép chia

a) \({2^{50}} + {41^{65}}\) cho \(7\)

b) \(A = {2014^{2015}} + {2016^{2015}} + 2018\) cho \(5\)

c) \(C = {10^{10}} + {10^{{{10}^2}}} + {10^{{{10}^3}}} + ... + {10^{{{10}^{10}}}}\) cho \(7\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562006

Phương pháp giải

\(A = {a^n}:m\)

+ Phương pháp chung: \(x \equiv {a^n}\left( {\bmod \;m} \right)\) với \(0 \le x \le m\)

+ Xác định số dư \(b\) thoả mãn \(\left\{ \begin{array}{l}a \equiv b\left( {\bmod \;m} \right)\\{b^k} \equiv \pm 1\left( {\bmod \;m} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {b^k} = {k_1}.m \pm 1\)

\(\begin{array}{l}{a^n} \equiv {b^n}\left( {\bmod \;m} \right)\\{b^k} = {b^k}.x\\{b^n} = {b^k}.x \equiv \left( {\bmod \;m} \right) \Rightarrow x \equiv {a^n}\left( {\bmod \;m} \right)\end{array}\)

+ Nhân (chia) hai vế và mô – đun của một đồng dư thức với một số nguyên dương

\(a \equiv b\left( {\bmod \;m} \right)\) thì \(a.c \equiv b.c\left( {\bmod \;m.c} \right)\)

Giải chi tiết

a) Ta có:

+ \({2^3} \equiv 1\left( {\bmod \;7} \right) \Rightarrow {2^{50}} = {\left( {{2^3}} \right)^{16}}{.2^2} \equiv 4\left( {\bmod \;7} \right)\)

+ \(41 \equiv - 1\left( {\bmod \;7} \right) \Rightarrow {41^{65}} \equiv {\left( { - 1} \right)^{65}} \equiv - 1\left( {\bmod 7} \right)\)

\( \Rightarrow {2^{50}} + {41^{65}} \equiv 4 - 1 \equiv 3\left( {\bmod \;7} \right)\)

b) Ta có:

+ \(2014 \equiv - 1\left( {\bmod \;5} \right) \Rightarrow {2014^{2015}} \equiv - 1\left( {\bmod \;5} \right)\)

+ \(2016 \equiv 1\left( {\bmod \;5} \right) \Rightarrow {2016^{2015}} \equiv 1\left( {\bmod \;5} \right)\)

+ \(2018 \equiv 3\left( {\bmod \;5} \right)\)

\( \Rightarrow {2014^{2015}} + {2016^{2015}} + 2018 \equiv 1 + \left( { - 1} \right) + 3 \equiv 3\left( {\bmod \;5} \right)\)

c) Ta có:

+ \({10^5} = 7.14285 + 5 \equiv 5\left( {\bmod \;7} \right)\)

+ \({10^6} \equiv 1\left( {\bmod \;7} \right)\)

+ \({10^n} - 4 = \overline {\underbrace {99...9}_{n - 1}6} \equiv 0\left( {\bmod \;2} \right)\) mà \(\overline {\underbrace {99...9}_{n - 1}6} \equiv 0\left( {\bmod \;3} \right) \Rightarrow {10^n} - 4 \equiv 0\left( {\bmod \;6} \right)\)

\( \Rightarrow {10^n} \equiv 4\left( {\bmod \;6} \right)\) và \({10^n} = 6k + 4\left( {k,n \in \mathbb{N}*} \right)\)

\( \Rightarrow {10^{{{10}^6}}} = {10^{6k + 4}} = {\left( {{{10}^6}} \right)^k}{.10^4} \equiv {10^4}\left( {\bmod \;7} \right)\)

Vậy \(C \equiv {10.10^4} \equiv {10^5} \equiv 5\left( {\bmod \;7} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link