Cho \(a + b + c = abc\) và \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 2\) với \(a,b,c \ne 0\). Chứng minh

Câu hỏi số 564546:

Vận dụng cao

Cho \(a + b + c = abc\) và \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 2\) với \(a,b,c \ne 0\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}} = 2\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:564546

Phương pháp giải

Hằng đẳng thức mở rộng: \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}} + 2\left( {\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}}} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}} + 2\dfrac{{a + b + c}}{{abc}} = 4\end{array}\)

Thay \(a + b + c = abc\) ta được:

\(\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}} + 2\dfrac{{abc}}{{abc}} = 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}} + 2 = 4\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}} = 2\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link