Cho \(x,y,z\) khác nhau và \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{x + y + z}}\). Chứng minh

Câu hỏi số 564545:

Vận dụng cao

Cho \(x,y,z\) khác nhau và \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{x + y + z}}\). Chứng minh rằng trong 3 số có ít nhất 1 cặp số đối nhau.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:564545

Phương pháp giải

Cách rút gọn biểu thức hữu tỉ

+ Thực hiện các phép tính để biến đổi biểu thức hữu tỉ thành một phân thức.

+ Rút gọn phân thức bằng việc chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung.

\({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right) = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab\)

+ Hai số đối nhau là hai số tổng bằng \(0\)

+ Cách giải phương trình tích: \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{x + y + z}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{yz + xz + xy}}{{xyz}} = \dfrac{1}{{x + y + z}}\\ \Rightarrow \left( {xy + yz + xz} \right)\left( {x + y + z} \right) = xyz\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2}y + xyz + {x^2}z + x{y^2} + {y^2}z + xyz + xyz + y{z^2} + x{z^2} = xyz\\ \Leftrightarrow {x^2}y + {x^2}z + x{y^2} + {y^2}z + y{z^2} + x{z^2} + 2xyz = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2}y + y{z^2}} \right) + \left( {{y^2}z + x{y^2}} \right) + \left( {{x^2}z + {z^2}x} \right) + 2xyz = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {{x^2} + {z^2}} \right) + {y^2}\left( {x + z} \right) + xz\left( {x + z} \right) + 2xyz = 0\\ \Leftrightarrow y{\left( {x + z} \right)^2} - 2xyz + {y^2}\left( {x + z} \right) + xz\left( {x + z} \right) + 2xyz = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x + z} \right)\left( {y\left( {x + z} \right) + {y^2} + xz} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + z} \right)\left( {xy + yz + {y^2} + xz} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + z} \right)\left[ {x\left( {y + z} \right) + y\left( {y + z} \right)} \right] = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - y\\y = - z\\z = - x\end{array} \right.\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link