Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{{\sin }^2}x +

Câu hỏi số 564951:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{{\sin }^2}x + 1\,\,}\\{{2^x}\,}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{khi}}\,\,x < 0}\\{{\rm{khi}}\,\,x \ge 0}\end{array}\,} \right.\). Giả sử \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và thoả mãn điều kiện \(F\left( 1 \right) = \dfrac{2}{{\ln 2}}\). Tính \(F\left( { - \pi } \right)\).

A. \(F\left( { - \pi } \right) = - 2\pi + \dfrac{1}{{\ln 2}}\).

B. \(F\left( { - \pi } \right) = - \pi - \dfrac{1}{{\ln 2}}\).

C. \(F\left( { - \pi } \right) = - 2\pi \).

D. \(F\left( { - \pi } \right) = - 2\pi - \dfrac{1}{{\ln 2}}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:564951

Phương pháp giải

Tìm công thức nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên mỗi khoảng xác định. Từ đó, tính giá trị \(F\left( { - \pi } \right)\).

Giải chi tiết

Với \(x \ge 0:\) \(F\left( x \right) = \int {{2^x}dx = } \dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + {C_1}\). Mà \(F\left( 1 \right) = \dfrac{2}{{\ln 2}} \Rightarrow {C_1} = 0\)

\( \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) khi \(x \ge 0\).

Với \(x < 0:\) \(F\left( x \right) = \int {\left( {2{{\sin }^2}x + 1} \right)dx = } \int {\left( {2 - \cos 2x} \right)dx = } \,2x - \dfrac{1}{2}\sin 2x + {C_2}\).

Vì hàm số F(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số liên tục tại \(x = 0\).

Tại \(x = 0:\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} F\left( x \right)\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{2^0}}}{{\ln 2}} = 0 - 0 + {C_2} \Rightarrow {C_2} = \dfrac{1}{{\ln 2}}\).

\( \Rightarrow F\left( x \right) = \,2x - \dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{{\ln 2}}\) khi \(x < 0\).

Vậy \(F\left( { - \pi } \right) = - 2\pi - \dfrac{1}{2}\sin \left( { - 2\pi } \right) + \dfrac{1}{{\ln 2}} = - 2\pi + \dfrac{1}{{\ln 2}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.