Trong không gian toạ độ \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{2} =

Câu hỏi số 564950:

Vận dụng

Trong không gian toạ độ \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{z}{1}\) và hai điểm \(A\left( {1; - 1;1} \right),\,B\left( {4;2; - 2} \right)\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\) sao cho khoảng cách từ điểm \(B\) đến \(\Delta \) là nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là

A. \(\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{4}\).

B. \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{4}\).

C. \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{4}\).

D. \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 4}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:564950

Phương pháp giải

- Viết phương trình \(mp\left( P \right)\) đi qua A và vuông góc với d.

- Dựng \(BK \bot \left( P \right),\,BH \bot \Delta \,\,\left( {K \in \left( P \right),\,\,H \in \Delta } \right)\). Tìm tọa độ điểm K.

- Biện luận: \(d\left( {B,\Delta } \right) = BH \ge BK \Rightarrow d{\left( {B,\Delta } \right)_{\min }} = BK \Leftrightarrow H \equiv K\), khi đó \(\Delta \) đi qua A, K.

- Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right),\,\,\left( {a,b,c \ne 0} \right)\) là:

\(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\).

Giải chi tiết

Vì \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\,\, \Rightarrow \Delta \) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(A\) và vuông góc với \(d\).

Phương trình mp\(\left( P \right)\) là: \(2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 1} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 2y + z - 1 = 0\).

Dựng \(BK \bot \left( P \right),\,BH \bot \Delta \,\,\left( {K \in \left( P \right),\,\,H \in \Delta } \right)\).

Phương trình đường thẳng \(BK\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\).

Giả sử: \(K\left( {4 + 2t;2 + 2t;t - 2} \right) \in BK\).

Vì \(K \in \left( P \right)\) \( \Rightarrow 2\left( {4 + 2t} \right) + 2\left( {2 + 2t} \right) + (t - 2) - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\).

\( \Rightarrow K\left( {2;0; - 3} \right)\).

Ta thấy: \(BH \ge BK\) (quan hệ đường vuông góc, đường xiên).

Do đó, khoảng cách từ điểm \(B\) đến \(\Delta \) là \(BH\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow BH = BK \Leftrightarrow H \equiv K\).

Khi đó, \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\left( {1; - 1;1} \right)\) và \(K\left( {2;0; - 3} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AK} = \left( {1;1; - 4} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \).

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1; - 1;1} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {AK} = \left( {1;1; - 4} \right)\) là: \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 4}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.