Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 13 = 0\). Lấy điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) với \(a < 0\) thuộc đường thẳng \(d\) sao cho từ \(M\) kẻ được ba tiếp tuyến \(MA,\,MB,\,MC\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\) ( \(A,\,B,\,C\) là tiếp điểm) thoả mãn góc \(\angle AMB = {60^ \circ },\) \(\angle BMC = {90^ \circ },\) \(\angle CMA = {120^ \circ }\). Tổng \(a + b + c\) bằng

Câu 565091: Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 13 = 0\). Lấy điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) với \(a < 0\) thuộc đường thẳng \(d\) sao cho từ \(M\) kẻ được ba tiếp tuyến \(MA,\,MB,\,MC\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\) ( \(A,\,B,\,C\) là tiếp điểm) thoả mãn góc \(\angle AMB = {60^ \circ },\) \(\angle BMC = {90^ \circ },\) \(\angle CMA = {120^ \circ }\). Tổng \(a + b + c\) bằng

A. \(1\).

B. \(2\).

C. \( - 2\).

D. \(\dfrac{{10}}{3}\).

Câu hỏi : 565091

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+) Tìm độ dài các đoạn thẳng \(MA,MB,MC\).

+) Tìm độ dài đoạn thẳng \(IM\).

+) Tham số hóa điểm \(M\) theo phương trình đường thẳng \(d\), dựa vào độ dài đoạn \(IM\), tìm \(M\).

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Giả sử \(MA = MB = MC = x\).
\( \Rightarrow AB = x,\,BC = x\sqrt 2 ,\,AC = x\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(B\).
\( \Rightarrow \) Trung điểm \(H\) của \(AC\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Ta có: \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 13 = 0\)
\( \Rightarrow \left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2; - 3} \right),\,\) bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2} + 13} = 3\sqrt 3 \).
\(\Delta IAC\) có \(IA = IC,\,\,\angle CIA = {180^0} - \angle AMC = {180^0} - {120^0} = {60^0} \Rightarrow \Delta IAC\) đều cạnh \(3\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow AC = x\sqrt 3 = 3\sqrt 3 \Rightarrow x = 3\)
\(\Delta AMI\) vuông tại \(A \Rightarrow IM = \sqrt {I{A^2} + A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2} + {3^2}} = 6\).
\(M \in d \Rightarrow \) Giả sử \(M\left( { - 1 + t; - 2 + t;1 + t} \right) \Rightarrow I{M^2} = {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {t - 4} \right)^2} + {\left( {t + 4} \right)^2} = 36 \Rightarrow 3{t^2} - 4t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\).
\( + )\,t = 0 \Rightarrow M\left( { - 1; - 2;1} \right) \Rightarrow a + b + c = - 2\).
\( + )\,t = \dfrac{4}{3} \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{3}; - \dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3}} \right)\): Loại.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.