Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Một mặt phẳng thay

Câu hỏi số 565090:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Một mặt phẳng thay đổi, vuông góc với \(SO\) cắt \(SO,\,SA,\,SB,\,SC,\,SD\) lần lượt tại \(I,\,M,\,N,\,P,\,Q\). Một hình trụ có một đáy nội tiếp tứ giác \(MNPQ\) và một đáy nằm trên hình vuông \(ABCD\). Khi thể tích khối trụ lớn nhất thì độ dài \(SI\) bằng

A. \(SI = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

B. \(SI = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).

C. \(SI = \dfrac{a}{3}\).

D. \(SI = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565090

Phương pháp giải

Lập hàm số về thể tích khối trụ. Sử dụng BĐT Cô si cho ba số, tìm GTLN của thể tích đó.

Giải chi tiết

Giả sử \(\dfrac{{SI}}{{SO}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{{SN}}{{SB}} = \dfrac{{SP}}{{SC}} = \dfrac{{SQ}}{{SD}} = x,\,0 < x < 1\).

\( \Rightarrow \dfrac{{PQ}}{{CD}} = x \Rightarrow PQ = xa \Rightarrow R = \dfrac{{PQ}}{2} = \dfrac{{xa}}{2}\): bán kính đáy của hình trụ.

Hình chóp \(S.ABCD\) đều, có tất cả các cạnh đều bằng \(a\) \( \Rightarrow SO = \sqrt {S{D^2} - O{D^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\).

\( \Rightarrow IO = \left( {1 - x} \right).SO = \dfrac{{\left( {1 - x} \right)a}}{{\sqrt 2 }}\).

Thể tích khối trụ là:

\(V = \pi .{R^2}.IO = \pi .{\left( {\dfrac{{xa}}{2}} \right)^2}.\dfrac{{\left( {1 - x} \right)a}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\pi \sqrt 2 {a^3}}}{4}.{x^2}\left( {1 - x} \right) = \pi \sqrt 2 {a^3}.\left( {\dfrac{x}{2}.\dfrac{x}{2}.\left( {1 - x} \right)} \right) \le \pi \sqrt 2 {a^3}.{\left( {\dfrac{{\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} + 1 - x}}{3}} \right)^3} = \dfrac{{\pi \sqrt 2 {a^3}}}{{27}}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{x}{2} = 1 - x \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\) (thỏa mãn).

Vậy thể tích khối trụ lớn nhất khi \(x = \dfrac{2}{3}\). Khi đó: \(SI = \dfrac{2}{3}SO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.