Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Một mặt phẳng thay đổi, vuông góc với \(SO\) cắt \(SO,\,SA,\,SB,\,SC,\,SD\) lần lượt tại \(I,\,M,\,N,\,P,\,Q\). Một hình trụ có một đáy nội tiếp tứ giác \(MNPQ\) và một đáy nằm trên hình vuông \(ABCD\). Khi thể tích khối trụ lớn nhất thì độ dài \(SI\) bằng

Câu 565090: Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Một mặt phẳng thay đổi, vuông góc với \(SO\) cắt \(SO,\,SA,\,SB,\,SC,\,SD\) lần lượt tại \(I,\,M,\,N,\,P,\,Q\). Một hình trụ có một đáy nội tiếp tứ giác \(MNPQ\) và một đáy nằm trên hình vuông \(ABCD\). Khi thể tích khối trụ lớn nhất thì độ dài \(SI\) bằng

A. \(SI = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

B. \(SI = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).

C. \(SI = \dfrac{a}{3}\).

D. \(SI = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

Câu hỏi : 565090

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Lập hàm số về thể tích khối trụ. Sử dụng BĐT Cô si cho ba số, tìm GTLN của thể tích đó.

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Giả sử \(\dfrac{{SI}}{{SO}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{{SN}}{{SB}} = \dfrac{{SP}}{{SC}} = \dfrac{{SQ}}{{SD}} = x,\,0 < x < 1\).
\( \Rightarrow \dfrac{{PQ}}{{CD}} = x \Rightarrow PQ = xa \Rightarrow R = \dfrac{{PQ}}{2} = \dfrac{{xa}}{2}\): bán kính đáy của hình trụ.
Hình chóp \(S.ABCD\) đều, có tất cả các cạnh đều bằng \(a\) \( \Rightarrow SO = \sqrt {S{D^2} - O{D^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\).
\( \Rightarrow IO = \left( {1 - x} \right).SO = \dfrac{{\left( {1 - x} \right)a}}{{\sqrt 2 }}\).
Thể tích khối trụ là:
\(V = \pi .{R^2}.IO = \pi .{\left( {\dfrac{{xa}}{2}} \right)^2}.\dfrac{{\left( {1 - x} \right)a}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\pi \sqrt 2 {a^3}}}{4}.{x^2}\left( {1 - x} \right) = \pi \sqrt 2 {a^3}.\left( {\dfrac{x}{2}.\dfrac{x}{2}.\left( {1 - x} \right)} \right) \le \pi \sqrt 2 {a^3}.{\left( {\dfrac{{\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} + 1 - x}}{3}} \right)^3} = \dfrac{{\pi \sqrt 2 {a^3}}}{{27}}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{x}{2} = 1 - x \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\) (thỏa mãn).
Vậy thể tích khối trụ lớn nhất khi \(x = \dfrac{2}{3}\). Khi đó: \(SI = \dfrac{2}{3}SO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.