Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\cos ^2}x + 1\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \) bằng

Câu 565286: Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\cos ^2}x + 1\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 8\pi + 4}}{{4}}\)

B. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 16\pi + 16}}{{16}}\)

C. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 14\pi }}{{16}}\)

D. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 4}}{{16}}\)

Câu hỏi : 565286

Quảng cáo

Đáp án : A
(10) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(f'\left( x \right) = 2{\cos ^2}x + 1 = \cos 2x + 2\).

Suy ra \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {\cos 2x + 2} \right)dx} = \dfrac{1}{2}\sin 2x + 2x + C\).

Mặt khác \(f\left( 0 \right) = 4\) nên \(C = 4\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\sin 2x + 2x + 4\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

\(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x + 2x + 4} \right)dx} \)\( = \left. {\left( { - \dfrac{1}{4}cos2x + {x^2} + 4x} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}}\)\( = \dfrac{1}{4} + \dfrac{{{\pi ^2}}}{4} + 2\pi + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{{\pi ^2}}}{4} + 2\pi + \dfrac{1}{2}\)

\( = \dfrac{{{\pi ^2} + 8\pi + 4}}{4}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.