Đồng vị phóng xạ X có hằng số phóng xạ \({\lambda _1}\) biến thành đồng vị phóng xạ Y có

Câu hỏi số 566412:

Vận dụng cao

Đồng vị phóng xạ X có hằng số phóng xạ \({\lambda _1}\) biến thành đồng vị phóng xạ Y có hằng số phóng xạ \({\lambda _2}\). Biết rằng tại thời điểm ban đầu \(t = 0\) mẫu X là nguyên chất, khoảng thời gian kể từ lúc đầu cho đến khi số hạt nhân Y có trong mẫu chất đạt giá trị cực đại là

A. \(t = \dfrac{1}{{{\lambda _1} - {\lambda _2}}}{e^{\dfrac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2}}}}}\)

B. \(t = \dfrac{{\ln \left( {\dfrac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2}}}} \right)}}{{{\lambda _1} - {\lambda _2}}}\)

C. \(t = \dfrac{{\ln \left( {\dfrac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2}}}} \right)}}{{2\left( {{\lambda _1} - {\lambda _2}} \right)}}\)

D. \(t = \dfrac{{2\ln \left( {\dfrac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2}}}} \right)}}{{{\lambda _1} - {\lambda _2}}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:566412

Phương pháp giải

Số hạt còn lại: \(N = {N_0}.{e^{ - \lambda t}}\)

Số hạt bị phóng xạ: \(\Delta N = {N_0}.\left( {1 - {e^{ - \lambda t}}} \right)\)

Giải chi tiết

Phóng xạ đơn: \(\dfrac{{d{N_X}}}{{dt}} = - {\lambda _1}{N_X} \Rightarrow {N_X} = {N_0}{e^{ - {\lambda _1}.t}}\,\,\,\left( * \right)\)

Phóng xạ chuỗi: \(\dfrac{{d{N_Y}}}{{dt}} = {\lambda _1}{N_X} - {\lambda _2}{N_Y}\)

\( \Rightarrow {N_Y} = \dfrac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2} - {\lambda _1}}}.{N_0}.\left( {{e^{ - {\lambda _2}.t}} - {e^{ - {\lambda _2}.t}}} \right)\,\,\,\,\left( {**} \right)\)

\({N_{Y\max }}\) thì \(\dfrac{{d{N_Y}}}{{dt}} = \left( {{N_Y}} \right)' = 0\)

\( \Rightarrow {\lambda _1}{e^{ - {\lambda _1}.t}} - {\lambda _2}{e^{ - {\lambda _2}.t}} = 0\)

\( \Rightarrow {e^{ - {\lambda _1}.t - {\lambda _2}.t}} = \dfrac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2}}} \Rightarrow t = \dfrac{{\ln \dfrac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2}}}}}{{{\lambda _1} - {\lambda _2}}}\)

Chú ý: Đây là dạng phóng xạ chuỗi: Trong lúc X phóng xạ biến thành Y thì Y lại phóng xạ biến thành Z.

Công thức (*) được chứng minh như sau:

\(\dfrac{{d{N_X}}}{{{N_X}}} = - {\lambda _1}dt \Rightarrow \int\limits_{{N_0}}^{{N_Y}} {\dfrac{{d{N_X}}}{{{N_X}}}} = \int\limits_0^t { - {\lambda _1}dt} \)

\( \Rightarrow \ln \dfrac{{{N_X}}}{{{N_0}}} = - {\lambda _1}t \Rightarrow {N_X} = {N_0}.{e^{ - {\lambda _1}.t}}\)

Công thức (**) chứng minh như sau (phương trình vi phân tuyến tính cấp 1):

\({N_Y}' + {\lambda _2}{N_Y} = {\lambda _1}{N_X}\)

\( \Rightarrow {N_Y}'.{e^{{\lambda _2}.t}} + {\lambda _2}{e^{{\lambda _2}.t}}{N_Y} = {\lambda _1}{N_X}{e^{{\lambda _2}.t}}\)

\( \Rightarrow \left( {{N_Y}{e^{{\lambda _2}.t}}} \right)' = {\lambda _1}{N_0}{e^{{\lambda _2}.t - {\lambda _1}.t}}\)

\( \Rightarrow {N_Y}{e^{{\lambda _2}.t}} = {\lambda _1}{N_0}\int\limits_0^t {{e^{{\lambda _2}.t - {\lambda _1}.t}}dt = \dfrac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2} - {\lambda _1}}}{N_0}\left( {{e^{{\lambda _2}.t - {\lambda _1}.t}} - 1} \right)} \)

\( \Rightarrow {N_Y} = \dfrac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2} - {\lambda _1}}}{N_0}\left( {{e^{ - {\lambda _1}t}} - {e^{ - {\lambda _2}t}}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.