Cho hai biểu thức: \(A = \dfrac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}}\) và \(B = \left(

Câu hỏi số 567593:

Vận dụng

Cho hai biểu thức: \(A = \dfrac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}}\) và \(B = \left( {\dfrac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \dfrac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}}\,\,\,\left( {x \ge 0,\,\,x \ne 25} \right)\)

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9.\)

2) Rút gọn biểu thức \(B.\)

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P = AB\) đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:567593

Phương pháp giải

a) Khi \(x = 9\,\,\left( {tm} \right)\) thay vào biểu thức để tính giá trị của biểu thức.

b) Quy đồng mẫu các phân thức rồi rút gọn biểu thức.

c) Tính biểu thức: \(P = AB.\) Biểu thức \(P \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) tử số chia hết cho mẫu số.

Từ đó tìm các giá trị của \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow P \in \mathbb{Z}\) và tính được các giá trị của \(P\) và kết luận giá trị \(x \in \mathbb{Z}\) để \(P \in \mathbb{Z}\) và đạt giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

a) Khi \(x = 9\,\,\left( {tm} \right)\) thay vào biểu thức \(A = \dfrac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}}\) ta được:

\(A = \dfrac{{4\left( {\sqrt 9 + 1} \right)}}{{25 - 9}} = \dfrac{{4\left( {3 + 1} \right)}}{{16}} = \dfrac{{16}}{{16}} = 1.\)

Vậy với \(x = 9\) thì \(A = 1.\)

b) Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 25.\)

\(\begin{array}{l}B = \left( {\dfrac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \dfrac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}} = \left[ {\dfrac{{15 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} + \dfrac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right].\dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \dfrac{{15 - \sqrt x + 2\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{15 - \sqrt x + 2\sqrt x - 10}}{{\sqrt x + 5}}.\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}\\ = \dfrac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 5}}.\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}.\end{array}\)

c) Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 25.\)

Ta có: \(P = A.B = \dfrac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}}.\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{4}{{25 - x}}.\)

\(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \dfrac{4}{{25 - x}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 4\,\, \vdots \,\,\left( {25 - x} \right)\) hay \(\left( {25 - x} \right) \in U\left( 4 \right)\)

Mà \(U\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 4} \right\} \Rightarrow \left( {25 - x} \right) \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\, \pm 4} \right\}.\)

Ta có bảng giá trị:

\( \Rightarrow \) với \(x \in \left\{ {23;\,\,24;\,\,26;\,\,27;\,\,29} \right\}\) thì \(P \in \mathbb{Z}.\)

Qua bảng giá trị ta thấy với \(x = 24\) thì \(P = 4\) là số nguyên lớn nhất.

Vậy \(x = 24\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link