Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau :a) \(7{x^2} + 13y{}^2 = 1820\)b) \({x^2} = 2x + \overline {yzz4}

Câu hỏi số 568185:

Vận dụng

Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau :

a) \(7{x^2} + 13y{}^2 = 1820\)

b) \({x^2} = 2x + \overline {yzz4} \)

c) \({x^2} + 17{y^2} + 34xy + 51\left( {x + y} \right) = 1740\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:568185

Phương pháp giải

Cho phương trình f(x) = g(x)

* Xét số dư của f(x) và g(x) cho cùng một số

+) Nếu hai số dư khác nhau thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu hai số dư bằng nhau thì làm tiếp

Giải chi tiết

a) \(7{x^2} + 13y{}^2 = 1820\)

Ta có: \(1820 = 7.13.20\)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}7{x^2} \vdots 7\\1820 \vdots 7\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}13{y^2} \vdots 7\\\left( {7;13} \right) = 1\end{array} \right. \Rightarrow {y^2} \vdots 7 \Rightarrow y \vdots 7\)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}13{y^2} \vdots 13\\1820 \vdots 13\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}7{x^2} \vdots 13\\(7,13) = 1\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} \vdots 13 \Rightarrow x \vdots 13\)

Đặt \(x = 13a;y = 7b(a,b \in Z)\). Thay vào phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}\quad \;{7.13^2}{a^2} + 13{}^2{.7^2}{b^2} = 7.13.20\\ \Leftrightarrow 13{a^2} + 7{b^2} = 20\\ \Rightarrow {a^2},{b^2} \le 1\\ \Rightarrow {a^2} = {b^2} = 1(tm)\\ \Leftrightarrow a = b = \pm 1\end{array}\)

\( \Rightarrow (x,y) = \left\{ {(13,7);(13, - 7);( - 1,7);( - 13, - 7)} \right\}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là : \(S = \left\{ {(13,7);(13, - 7);( - 1,7);( - 13, - 7)} \right\}\)

b) Ta có: \(x,y,z \in {\mathbb{Z}^ + }\) và \(y,z \in \left\{ {1;2;...;9} \right\}\)

\(\begin{array}{l}\quad {x^2} = 2x + \overline {yzz4} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x = \overline {yzz4} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = \overline {yzz4} + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = \overline {yzz5} \end{array}\)

\( \Rightarrow x - 1\) có dạng là \(\overline {a5} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\overline {yzz5} } \right)^2} = {\left( {\overline {a5} } \right)^2} = {\left( {10a + 5} \right)^2} = 100{a^2} + 100a + 25\\ \Rightarrow z = 2\\ \Rightarrow y + z + z + 5 = y + 9\end{array}\)

Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} = \overline {yzz5} \) là số chính phương và có tổng các chữ số là \(y + 9\) nên \(\overline {yzz5} :9\) dư \(0;1;4;7\)

\( \Rightarrow y \in \left\{ {1;4;7} \right\}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\left( {36;1;2} \right),\left( {66;4;2} \right),\left( {86;7;2} \right)} \right\}\)

c) Phương trình đã cho có dạng : \({x^2} + 17\left[ {{y^2} + 2xy + 3\left( {x + y} \right)} \right] = 1740\)

Ta có : \(x = 17k \pm r\) với \(r = \left\{ {0;1;2;...;8} \right\}\) và \(k \in \mathbb{Z}\)

\( \Rightarrow {x^2} \in \left\{ {17k;17k + 1;17k + 4;17k + 9;17k + 8;17k + 16;17k + 2;17k + 15;17k + 13} \right\}\)

\( \Rightarrow {x^2} + 17\left[ {{y^2} + 2xy + 3\left( {x + y} \right)} \right]:17\) dư \(0;1;2;4;9;8;13;15;16\)

Mặt khác \(1740:17\) dư \(6\)

Ta thấy số dư của 2 vế khác nhau \( \Rightarrow \) phương trình vô nghiệm.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link