Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau : a) \(\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 4} \right)\left(

Câu hỏi số 568184:

Vận dụng

Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau :

a) \(\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 4} \right)\left( {{z^2} + 9} \right) = 48xyz\)

b) \({x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3} = 8\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 1} \right)\)

c) \(\dfrac{{2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{x + y}} = \dfrac{{85}}{{13}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:568184

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Co-si cho hai số dương \(a,b\) ta có: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\)

Giải chi tiết

a) \(\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 4} \right)\left( {{z^2} + 9} \right) = 48xyz\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có :

+ \(\left( {{x^2} + 1} \right) \ge 2x \ge 0\)

+ \(\left( {{y^2} + 4} \right) \ge 4y \ge 0\)

+ \(\left( {{z^2} + 9} \right) \ge 6z \ge 0\)

\( \Rightarrow \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 4} \right)\left( {{z^2} + 9} \right) \ge 2x.4y.6z\)

\(\begin{array}{l} \ge 48xyz\\ \ge 0\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3\end{array} \right.\)

Để vế phải lớn hơn \(0\) thì \(x,y,z\) phải cùng dương hoặc hai số âm và một số dương.

\( \Rightarrow \left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( {1;2;3} \right),\left( { - 1; - 2;3} \right),\left( { - 1;2; - 3} \right),\left( {1; - 2; - 3} \right)} \right\}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\left( {1;2;3} \right),\left( { - 1; - 2;3} \right),\left( { - 1;2; - 3} \right),\left( {1; - 2; - 3} \right)} \right\}\)

b) Ta có :

\(\begin{array}{l}\quad {x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3} = 8\left( {{x^2}xy + {y^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + y\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 8\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 8xy + 8\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y - 8} \right) = 8xy + 8\left( * \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow x;y\) sẽ cùng chẵn hoặc cùng lẻ vì \(8xy + 8\) là số chẵn.

+ Nếu \(x + y - 8 \ge 6\) thì \({x^2} + {y^2} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2} \ge \dfrac{{{{14}^2}}}{2} > 4\)

\( \Rightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y - 8} \right) \ge 6\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \ge 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 8xy\\ > 8 + 8xy\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Không có giá trị nào thoả mãn phương trình \(\left( * \right)\)

+ Nếu \(x + y - 8 \le - 4\) thì \(\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y - 8} \right) \le - 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \le 8xy\\ < 8 + 8xy\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Không có giá trị nào thoả mãn phương trình \((*)\)

+ Nếu \(x + y - 8 = 2\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4xy + 4\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 10\\xy = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

+ Nếu \(x + y - 8 = 0\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow 8xy + 8 = 0 \Leftrightarrow xy + 1 = 0\)\( \Rightarrow \left( * \right)\) không có nghiệm nguyên vì \(x + y = 8\)

+ Nếu \(x + y - 8 = - 2\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4xy + 4 = 0\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 6\\xy = - 20\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Không có nghiệm nguyên.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\left( {8;2} \right),\left( {2;8} \right)} \right\}\)

c) Vì \(x,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {x + y} \right),2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \in \mathbb{Z}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{x + y}} = \dfrac{{85}}{{13}}\\ \Rightarrow 85\left( {x + y} \right) = 26\left( {{x^2} + {y^2}} \right) > 0\\ \Rightarrow x + y > 0\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Co-si, ta có:

\({x^2} + {y^2} \ge 2xy \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {x + y} \right)^2} \Leftrightarrow 26\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge 13{\left( {x + y} \right)^2}\)

Ta có: \(85\left( {x + y} \right) = 26\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge 13{\left( {x + y} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x + y \le \dfrac{{85}}{{13}}\\ \Rightarrow x + y \le 13\end{array}\)

Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x + y \vdots 13\end{array} \right. \Rightarrow x + y = 13 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 85\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 13\\{x^2} + {y^2} = 85\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 13 - x\\{x^2} + {\left( {13 - x} \right)^2} = 85\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 7\end{array} \right.\left( C \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 6\end{array} \right.\left( C \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\left( {6;7} \right),\left( {7;6} \right)} \right\}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link