Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:a) \(5(x + y + z + t + 2) = 2xyzt\)b) \({x^3} + 3y{}^3 + 9{z^3} =

Câu hỏi số 568200:

Vận dụng

Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:

a) \(5(x + y + z + t + 2) = 2xyzt\)

b) \({x^3} + 3y{}^3 + 9{z^3} = 9{x^2}{y^2}{z^2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:568200

Phương pháp giải

+ Với \(a,n \in N(a,n > 1,x,y \in Z)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^n} < {y^n} < {(x + a)^n}\\ \Rightarrow {y^n} = {(x + i)^n}(i = \overline {1,a - 1} )\end{array}\)

Phương pháp xuống thang

+ Bước 1: Giả sử tồn tại nghiệm khác 0 mà đạt giá trị nhỏ nhất

+ Bước 2: Sử dụng giả thiết và các tính chất chỉ ra phương trình đó có 1 nghiệm khác nhỏ hơn

+ Bước 3: Kết luận phương trình có nghiệm là 0

Giải chi tiết

a) Giả sử: \(x \ge y \ge z \ge t \Rightarrow 2x{t^3} \le 2xyzt = 5(x + y + z + t + 2) \le 20x + 10 \le 30x\)

\( \Leftrightarrow {t^3} \le 15 \Rightarrow t \in \left\{ {1;2} \right\}\)

Trường hợp 1: \(t = 1 \Leftrightarrow 2x{z^2} \le 2xyz = 5(x + y + z + 3) \le 15x + 15 \le 30x\)

\( \Leftrightarrow {z^2} \le 15 \Leftrightarrow z \in \left\{ {1,2,3} \right\}\)

+Với \(z = 1 \to 2xy = 5(x + y + 4) \to 4xy = 10(x + y + 4) \to (2x - 5)(2y - 5) = 65 = 65.1 = 13.5\)

Vì \(2x - 5 \ge 2y - 5 \ge - 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - 5 = 13\\2y - 5 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 35\\y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x - 5 = 13\\2y - 5 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 5\end{array} \right.\end{array} \right.\)

+Với \(z = 2 \Leftrightarrow 5(x + y + 5) = 4xy\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 16xy = 20(x + y + 5)\\ \Leftrightarrow (4x - 5)(4y - 5) = 125\end{array}\)

Vì \(4x - 5 \ge 4y - 5 \ge 4z - 5 = 3(z = 2)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - 5 = 25\\4y - 5 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{30}}{4}\\y = 5/2\end{array} \right. \Rightarrow L\)

- Với \(z = 3 \Rightarrow 5(x + y + 6) = 6xy\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 36xy = 30(x + y + 6)\\ \Leftrightarrow (6x - 5)(6y - 5) = 205\end{array}\)

Vì \(6x - 5 \ge 6y - 5 \ge 6z - 5 = 13 \Rightarrow L\)

+) TH2: \(t = 2 \Leftrightarrow 4x{z^2} \le 4xyz = 5(x + y + z + 4)\)

\( \le 15x + 20 \le 25x(x \ge t \ge 2)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {z^2} \le \dfrac{{25}}{4} \to z \le \dfrac{5}{2}\\ \Rightarrow z = 2\\ \Rightarrow 8xy = 5(x + y + 6)\end{array}\)

\( \Rightarrow 64xy = 40(x + y + 6) \Rightarrow \underbrace {(8x - 5)}_{ \ge 11}.\underbrace {(8y - 5)}_{ \ge 11} = 265 = 53.5 \Rightarrow L\)

Vậy phương trình có 24 nghiệm: \((x,y,z) = (35,3,1,1),(9,5,1,1)\) và các hoán vị của nó.

b) \({x^3} + 3y{}^3 + 9{z^3} = 9{x^2}{y^2}{z^2}(1)\)

Giả sử \(({x_0},{y_0},{z_0},{t_0})\) là 1 nghiệm của phương trình, tức là: \(x_0^3 + 3y_0^3 + 9z_0^3 = 9x_0^2y_0^2z_0^2 \to x_0^3 \vdots 3 \Rightarrow {x_0} = 3{x_1}({x_1} \in Z);{y_0} = 3{y_1};{z_0} = 3{z_1}\)

Tương tự ta chứng minh được: \({x_1} \vdots 3;{y_1} \vdots 3;{z_1} \vdots 3\)

Đặt \({x_1} = 3{x_2};y{}_1 = 3y{}_2;{z_1} = 3{z_2}({x_2},{y_2},{z_2} \in Z)\)

Thay vào (2) ta được: \(3(x_2^3 + 3y_2^3 + 9z_2^3) = {3^5}.3{}^6x_2^2y_2^2z_2^2 \to x_2^3 + 3y{}_2^3 + 9z_2^3 = {3^8}x{}_2^2y_2^2z_2^2\)

Cứ tiếp tục như vậy sau bước n ta suy ra: \({x_0} = {3^n}{x_n};{y_0} = {3^n}{y_n};z{}_0 = {3^n}{z_n}hay:{x_0},{y_0},{z_0} \vdots {3^n}\forall n \in {N^*}\)

Điều này chỉ xảy ra \( \Leftrightarrow ({x_0},{y_0},{z_0},{t_0}) = (0;0;0;0)\). Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm nguyên

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link