Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm:a) \(x_1^4 + x_2^4 + ... + x_8^4 = 2015\)b) \({19^x} + {5^y}

Câu hỏi số 568199:

Vận dụng

Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm:

a) \(x_1^4 + x_2^4 + ... + x_8^4 = 2015\)

b) \({19^x} + {5^y} + {1890^z} = {2^{{9^{1945}}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:568199

Phương pháp giải

+Khi \(a \equiv b\left( {\bmod \;m} \right)\) thì \(\left( {a - b} \right) \equiv 0\left( {\bmod \;m} \right)\). \(\left( {a - b} \right) \vdots m \Rightarrow \left( {a - b} \right):m\) dư \(0\); mà \(0:m\) dư

\(0 \Rightarrow \left( {a - b} \right) \equiv 0\left( {\bmod \;m} \right)\).

+ Tính chất cộng trừ từng vế: \(\left\{ \begin{array}{l}a \equiv b\left( {\bmod \;m} \right)\\c \equiv d\left( {\bmod \;m} \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \pm c \equiv b \pm d\left( {\bmod \;m} \right)\)

Cho phương trình f(x) = g(x)

* Xét số dư của f(x) và g(x) cho cùng một số

+) Nếu hai số dư khác nhau thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu hai số dư bằng nhau thì làm tiếp

Giải chi tiết

a) Xét số dư của n⁴ cho 16

+) n chẵn \( \Rightarrow n = 2k \Rightarrow {n^4} = 16{k^4} \vdots 16\)

+) n lẻ \( \Rightarrow n = 2k + 1 \Rightarrow {n^4} = {(2k + 1)^4} = {\left[ {{{(2k + 1)}^2}} \right]^2} = \underbrace {16{k^4} + 16{k^2} + 32{k^3}}_{ \vdots 16} + \underbrace {8k(k + 1)}_{ \vdots 16} + 1\)

\( \Rightarrow {n^4}\) chia \(16\) dư \(1\)

\(x_1^4,....x_8^4 \equiv 0,1(\bmod 16) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^4 + ... + x_8^4 \equiv 0,1,...,8(\bmod 16)\\2015 \equiv 15(\bmod 16)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm (đpcm)

b) Vì \(x,y,z \ge 1\) , nên: \(VT \equiv {19^x}(\bmod 5) \equiv {( - 1)^x}(\bmod 5) \equiv 1,4(\bmod 5)(1)\) ( x có thể chẵn )

Mặt khác: \({9^{1945}} \equiv 1(\bmod 4) \Rightarrow {9^{1945}} = 4k + 1(k \in {N^*})\)

\( \Rightarrow VP \equiv {2^{4k + 1}} = {2.16^k} \equiv 2(\bmod 5)(2)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow VT \ne VP \Rightarrow \)phương trình vô nghiệm (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link