Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm:a) \(x_1^4 + x_2^4 + ... + x_8^4 = 2015\)b) \({19^x} + {5^y}

Câu hỏi số 568199:

Vận dụng

Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm:

a) \(x_1^4 + x_2^4 + ... + x_8^4 = 2015\)

b) \({19^x} + {5^y} + {1890^z} = {2^{{9^{1945}}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:568199

Phương pháp giải

+Khi \(a \equiv b\left( {\bmod \;m} \right)\) thì \(\left( {a - b} \right) \equiv 0\left( {\bmod \;m} \right)\). \(\left( {a - b} \right) \vdots m \Rightarrow \left( {a - b} \right):m\) dư \(0\); mà \(0:m\) dư

\(0 \Rightarrow \left( {a - b} \right) \equiv 0\left( {\bmod \;m} \right)\).

+ Tính chất cộng trừ từng vế: \(\left\{ \begin{array}{l}a \equiv b\left( {\bmod \;m} \right)\\c \equiv d\left( {\bmod \;m} \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \pm c \equiv b \pm d\left( {\bmod \;m} \right)\)

Cho phương trình f(x) = g(x)

* Xét số dư của f(x) và g(x) cho cùng một số

+) Nếu hai số dư khác nhau thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu hai số dư bằng nhau thì làm tiếp

Giải chi tiết

a) Xét số dư của n⁴ cho 16

+) n chẵn \( \Rightarrow n = 2k \Rightarrow {n^4} = 16{k^4} \vdots 16\)

+) n lẻ \( \Rightarrow n = 2k + 1 \Rightarrow {n^4} = {(2k + 1)^4} = {\left[ {{{(2k + 1)}^2}} \right]^2} = \underbrace {16{k^4} + 16{k^2} + 32{k^3}}_{ \vdots 16} + \underbrace {8k(k + 1)}_{ \vdots 16} + 1\)

\( \Rightarrow {n^4}\) chia \(16\) dư \(1\)

\(x_1^4,....x_8^4 \equiv 0,1(\bmod 16) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^4 + ... + x_8^4 \equiv 0,1,...,8(\bmod 16)\\2015 \equiv 15(\bmod 16)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm (đpcm)

b) Vì \(x,y,z \ge 1\) , nên: \(VT \equiv {19^x}(\bmod 5) \equiv {( - 1)^x}(\bmod 5) \equiv 1,4(\bmod 5)(1)\) ( x có thể chẵn )

Mặt khác: \({9^{1945}} \equiv 1(\bmod 4) \Rightarrow {9^{1945}} = 4k + 1(k \in {N^*})\)

\( \Rightarrow VP \equiv {2^{4k + 1}} = {2.16^k} \equiv 2(\bmod 5)(2)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow VT \ne VP \Rightarrow \)phương trình vô nghiệm (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link