Xét hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 1 + i} \right| = 1,\left| {{z_2} + 1 - i} \right| = 2\) và \(\left| {{z_1} - {z_2} - 2 + 2i} \right| = \sqrt 3 \). Giá trị lớn nhất của \(\left| {3{z_1} + 2{z_2} - 1 - 5i} \right|\) bằng

Câu 569565: Xét hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 1 + i} \right| = 1,\left| {{z_2} + 1 - i} \right| = 2\) và \(\left| {{z_1} - {z_2} - 2 + 2i} \right| = \sqrt 3 \). Giá trị lớn nhất của \(\left| {3{z_1} + 2{z_2} - 1 - 5i} \right|\) bằng

A. \(6 + \sqrt {37} \)

B. \(5 + \sqrt {23} \)

C. \(6 + \sqrt {11} \)

D. \(6 + \sqrt {13} \)

Câu hỏi : 569565

Quảng cáo

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(M,N\) lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức \({z_1},{z_2}\)
+ Từ \(\left| {{z_1} - 1 + i} \right| = 1\) ta có \(MA = 1\) với \(A\left( {1; - 1} \right)\)
+ Từ \(\left| {{z_2} + 1 - i} \right| = 2\) ta có \(NB = 2\) với \(B\left( { - 1;1} \right)\)
+ Xét \(\left| {{z_1} - {z_2} - 2 + 2i} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {\left( {{z_1} - 1 + i} \right)\left( {{z_2} + 1 - i} \right)} \right| = \sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {NB} } \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow M{A^2} + N{B^2} - 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {NB} = 3 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {NB} = 1\).
\(\begin{array}{l} + \,\,\left| {3{z_1} + 2{z_2} - 1 - 5i} \right| = \left| {3\left( {{z_1} - 1 + i} \right) + 2\left( {{z_2} + 1 - i} \right) - 6i} \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \le \left| {3\left( {{z_1} - 1 + i} \right) + 2\left( {{z_2} + 1 - i} \right)} \right| + \left| { - 6i} \right| = P + 6\end{array}\)
Với \(P = \left| {3\left( {{z_1} - 1 + i} \right) + 2\left( {{z_2} + 1 - i} \right)} \right| = \left| {3\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {NB} } \right|\)
+ Xét
\(\begin{array}{l}{P^2} = {\left| {3\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {NB} } \right|^2}\\\,\,\,\,\,\,\, = 9M{A^2} + 4N{B^2} + 12\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {NB} \\\,\,\,\,\,\,\, = {9.1^2} + {4.2^2} + 12.1 = 37{\rm{\;}}\\ \Rightarrow P = \sqrt {37} \end{array}\).
Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là \(6 + \sqrt {37} \).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.