Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) thoả mãn \(f\left( x \right) = {x^2}

Câu hỏi số 569937:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) thoả mãn \(f\left( x \right) = {x^2} + 12\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( {\sqrt x } \right)\,dx} \). Giá trị của \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)\,dx} \) bằng

A. \(\dfrac{2}{3}\).

B. \( - \dfrac{2}{3}\).

C. \(\dfrac{3}{2}\).

D. \( - \dfrac{3}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:569937

Phương pháp giải

Tìm giá trị của \(\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( {\sqrt x } \right)dx} \).

Suy ra hàm số \(f\left( x \right)\).

Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)\,dx} \).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {x^2} + 12\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( {\sqrt x } \right)\,dx} \\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} + 12\int\limits_0^1 {{t^2}f\left( {\sqrt t } \right)\,dt} \\ \Rightarrow f\left( {\sqrt x } \right) = x + 12\int\limits_0^1 {{t^2}f\left( {\sqrt t } \right)\,dt} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2}f\left( {\sqrt x } \right) = {x^3} + 12{x^2}\int\limits_0^1 {{t^2}f\left( {\sqrt t } \right)\,dt} \\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {{x^2}f\left( {\sqrt x } \right)dx} = \int\limits_0^1 {{x^3}} dx + \int\limits_0^1 {\left( {12{x^2}\int\limits_0^1 {{t^2}f\left( {\sqrt t } \right)\,dt} } \right)dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{x^2}f\left( {\sqrt x } \right)dx} = \dfrac{1}{4} + \int\limits_0^1 {{t^2}f\left( {\sqrt t } \right)\,dt} .\int\limits_0^1 {12{x^2}dx} \end{array}\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{x^2}f\left( {\sqrt x } \right)dx} = \dfrac{1}{4} + 4\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( {\sqrt x } \right)\,dx} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{x^2}f\left( {\sqrt x } \right)dx} = - \dfrac{1}{{12}}\).

Khi đó: \(f\left( x \right) = {x^2} + 12\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( {\sqrt x } \right)\,dx} = {x^2} + 12.\dfrac{{ - 1}}{{12}} = {x^2} - 1\).

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)\,dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 1} \right)\,dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - x} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{1}{3} - 1 = - \dfrac{2}{3}\).

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.