Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( { - 1;1; - 1} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( { - 1;1; - 1} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( {C'} \right)\). Gọi \(\left( N \right)\) là khối nón có đỉnh là tâm của mặt cầu và đáy là hình tròn giới hạn bởi \(\left( {C'} \right)\). Tính bán kính của \(\left( {C'} \right)\) khi thể tích của khối nón \(\left( N \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Công thức tính thể tích khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\).
Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {1;2; - 3} \right)\), bán kính \(R = 5\).
\(IA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} = 3 < 5 \Rightarrow A\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right) \Rightarrow A\) nằm trong đường tròn \(\left( {C'} \right)\).
Gọi \(J\) là tâm của \(\left( {C'} \right)\).
Giả sử \(h = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = t\,\,\left( {0 \le t < 5} \right)\).
Đồng thời \({r^2} = {R^2} - {d^2}\left( {I;\left( P \right)} \right) = 25 - {t^2}\). (\(r\) là bán kính của đường tròn \(\left( {C'} \right)\))
Thể tích của khối nón \(\left( N \right)\) là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .\left( {25 - {t^2}} \right).t\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \left( {25 - {t^2}} \right)t\,\,\,\,\left( {0 \le t < 5} \right)\), có \(f'\left( t \right) = - 3{t^2} + 25\); \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{5}{{\sqrt 3 }}\\t = - \dfrac{5}{{\sqrt 3 }}\,\left( L \right)\end{array} \right.\).
Ta có bảng sau:
\( \Rightarrow {V_{\max }}\) khi và chỉ khi \(t = \dfrac{5}{{\sqrt 3 }}\). Khi đó, bán kính của \(\left( {C'} \right)\) là \(r = \sqrt {25 - {t^2}} = \sqrt {25 - \dfrac{{25}}{3}} = \dfrac{{5\sqrt 6 }}{3}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
