Cho 3 số thực x,y,z thay đổi thỏa mãn Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= x3+y3+z3.

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 5744:

Cho 3 số thực x,y,z thay đổi thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z=0\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \end{matrix}\right.$ Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= x³+y³+z³.

A. max P=3

B. max P= $\sqrt{\frac{1}{6}}$

C. max P= $\sqrt{\frac{1}{3}}$

D. max P= $\sqrt{\frac{2}{3}}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5744

Giải chi tiết

Từ x+y+z=0 => z=-(x+y) => P=x³+y³–(x+y)³=3xyz

Từ x²+y²+z²=1 => (x+y)²-2xy+z²=1 => 2z²-2xy=1 => xy=z²- $\frac{1}{2}$

Vậy P=3x(z²- $\frac{1}{2}$ ).

Do 1=x²+y²+z²≥ $\frac{1}{2}$ (x+y)²+z²= $\frac{3}{2}$ z²=> - $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ≤ z ≤ $\sqrt{\frac{2}{3}}$

Đặt f(z)=3z³- $\frac{3}{2}$ z với z∈ [- $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ; $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ]

Ta có f'(z)=9z²- $\frac{3}{2}$ =0 <=> z=± $\sqrt{\frac{1}{6}}$

Bảng biến thiên:

Ta có f( $-\sqrt{\frac{1}{6}}$ )= $\sqrt{\frac{1}{6}}$ , f( $\sqrt{\frac{2}{3}}$ )= $\sqrt{\frac{1}{6}}$ và từ bảng biến thiên, suy ra

f(z)≤ $\sqrt{\frac{1}{6}}$ , $\forall$ z ∈ [- $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ; $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ]

Mặt khác z= $\sqrt{\frac{2}{3}}$ , x=y= $-\sqrt{\frac{1}{6}}$ thỏa mãn đề bải và f(z)= $\sqrt{\frac{1}{6}}$

Vậy max P= $\sqrt{\frac{1}{6}}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.