Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình \({z^2} - \left( {a + 3} \right)z + {a^2} - a = 0\) có 2 nghiệm

Câu hỏi số 574400:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình \({z^2} - \left( {a + 3} \right)z + {a^2} - a = 0\) có 2 nghiệm phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\)?

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:574400

Phương pháp giải

Tính biệt thức \(\Delta \).

Chia các trường hợp \(\Delta \ge 0,\,\,\Delta < 0\) và tìm nghiệm của phương trình.

Thay vào giả thiết tìm a.

Giải chi tiết

Phương trình \({z^2} - \left( {a + 3} \right)z + {a^2} - a = 0\) có \(\Delta = {\left( {a + 3} \right)^2} - 4\left( {{a^2} - a} \right) = - 3{a^2} + 10a + 9\).

TH1: \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{5 - 2\sqrt {13} }}{2} \le a \le \dfrac{{5 + 2\sqrt {13} }}{2}\), khi đó phương trình có 2 nghiệm\(\left[ \begin{array}{l}{z_1} = \dfrac{{a + 3 - \sqrt { - 3{a^2} + 10 + 9} }}{2}\\{z_2} = \dfrac{{a + 3 + \sqrt { - 3{a^2} + 10 + 9} }}{2}\end{array} \right.\)

Theo giả thiết:

\(\begin{array}{l}\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| \Leftrightarrow \left| {3 + a} \right| = \left| {\sqrt { - 3{a^2} + 10a + 9} } \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {3 + a} \right)^2} = - 3{a^2} + 10a + 9 \Leftrightarrow 4{a^2} - 4a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

TH2: \(\Delta < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a < \dfrac{{5 - 2\sqrt {13} }}{2}\\a > \dfrac{{5 + 2\sqrt {13} }}{2}\end{array} \right.\), phương trình có 2 nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{z_1} = \dfrac{{a + 3 + i\sqrt {3{a^2} - 10a - 9} }}{2}\\{z_1} = \dfrac{{a + 3 - i\sqrt {3{a^2} - 10a - 9} }}{2}\end{array} \right.\)

Theo giả thiết:

\(\begin{array}{l}\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| \Leftrightarrow \left| {3 + a} \right| = \left| {i\sqrt { - 3{a^2} + 10a + 9} } \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {3 + a} \right)^2} = 3{a^2} - 10a - 9 \Leftrightarrow {a^2} - 8a - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 9\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có 2 số nguyên dương a thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.