Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 255 số nguyên y thỏa mãn \({\log

Câu hỏi số 574399:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 255 số nguyên y thỏa mãn \({\log _5}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _4}\left( {x + y} \right)\)?

A. 37

B. 38

C. 40

D. 36

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:574399

Phương pháp giải

Giải chi tiết

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\{x^2} + y > 0\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _5}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _4}\left( {x + y} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + y \ge {5^{{{\log }_4}\left( {x + y} \right)}}\\ \Leftrightarrow {x^2} + y \ge {\left( {x + y} \right)^{{{\log }_4}5}}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x \ge {\left( {x + y} \right)^{{{\log }_4}5}} - \left( {x + y} \right)\end{array}\)

Đặt \(t = x - y\) \( \Rightarrow {x^2} - x \ge {t^{{{\log }_4}5}} - t\,\,\left( * \right)\).

Vì cho ứng với mỗi x có không quá 255 số nguyên y nên bất phương trình (*) không quá 255 nghiệm t.

Vì \(x,\,\,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow x + y \ge 1 \Rightarrow t \ge 1\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^{{{\log }_4}5}} - t\) với \(t \ge 1\) ta có: \(f'\left( t \right) = \left( {{{\log }_4}5} \right){t^{{{\log }_4}5 - 1}} - 1 > 0\,\,\forall t > 1\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow {x^2} - x > {256^{{{\log }_4}5}} - 256 = 369\) thì bpt (*) sẽ có iatas nhất 256 nghiệm \(t \ge 1\).

\( \Rightarrow {x^2} - x \le 369 \Leftrightarrow - 18 \le x \le 19\,\,\left( {do\,\,x \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy có tất cả 38 số nguyên x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.