Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [-20;20] sao cho hàm số \(y = - 2x + 2 + a\sqrt {{x^2} - 4x + 5}

Câu hỏi số 574642:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [-20;20] sao cho hàm số \(y = - 2x + 2 + a\sqrt {{x^2} - 4x + 5} \) có cực đại?

A. 35

B. 17

C. 36

D. 18

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:574642

Phương pháp giải

Tìm điều kiện để hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y' = 0\\y'' < 0\end{array} \right.\) có nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = - 2x + 2 + a\sqrt {{x^2} - 4x + 5} \\ \Rightarrow y' = - 2 + \dfrac{{a\left( {2x - 4} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }}\\ \Rightarrow y' = - 2 + \dfrac{{a\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }}\\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{a\sqrt {{x^2} - 4x + 5} - a\left( {x - 2} \right).\dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }}}}{{{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }^2}}}\\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{a\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) - a{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }^3}}}\\ \Rightarrow y'' = \dfrac{a}{{{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }^3}}}\end{array}\)

Để hàm số có cực đại thì \(\left\{ \begin{array}{l}y' = 0\\y'' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = 0\\\dfrac{a}{{{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }^3}}} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = 0\\a < 0\end{array} \right.\) có nghiệm.

Nếu \(a = 0 \Rightarrow y = - 2x + 2 \Rightarrow \) Hàm số không có cực trị.

Nếu \(a \ne 0\).

\(\begin{array}{l}y' = 0 \Leftrightarrow - 2 + \dfrac{{a\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }} = \dfrac{2}{a}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(f\left( x \right) = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }}\) ta có

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} - \left( {x - 2} \right)\dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }}}}{{{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2} - 4x + 5 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }^3}}} = \dfrac{1}{{{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }^3}}} > 0\,\,\forall x\end{array}\)

BBT:

=> Phương trình (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow - 1 < \dfrac{2}{a} < 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{a} + 1 > 0\\\dfrac{2}{a} - 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2 + a}}{a} > 0\\\dfrac{{2 - a}}{a} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + a < 0\\2 - a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < - 2\\a < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow a < - 2\).

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow a \in \left[ { - 20; - 2} \right),\,\,a \in \mathbb{Z}\).

Vậy có 18 số nguyên a thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.