Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên SAB là tam giác đều, \(SC = SD

Câu hỏi số 574643:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên SAB là tam giác đều, \(SC = SD = a\sqrt 3 \). Thể tích khối chóp S.ABCD bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:574643

Phương pháp giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh \(AB \bot \left( {SMN} \right)\).

Kẻ \(SH \bot MN\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Tính SM, SN, MN, tính \({S_{\Delta SMN}}\) nhờ công thức Hê-rong.

Tính \(SH = \dfrac{{2{S_{\Delta SMN}}}}{{MN}}\).

Tính thể tích \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Tam giác SAB đều \( \Rightarrow SM \bot AB\).

Tam giác SCD cân tại S \( \Rightarrow SN \bot CD\), mà CD // AB \( \Rightarrow SN \bot AB\)

\( \Rightarrow AB \bot \left( {SMN} \right)\).

Trong (SMN) kẻ \(SH \bot MN\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Tam giác SAB đều cạnh a \( \Rightarrow SM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SN = \sqrt {S{C^2} - C{N^2}} = \sqrt {3{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {11} }}{2}\\MN = AB = a\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta SMN}} = \sqrt {p\left( {p - SM} \right)\left( {p - SN} \right)\left( {p - MN} \right)} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\), với p là nửa chu vi tam giác SMN.

\( \Rightarrow {S_{\Delta SMN}} = \dfrac{1}{2}SH.MN \Rightarrow SH = \dfrac{{2{S_{\Delta SMN}}}}{{MN}} = \dfrac{{2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}}}{a} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.