Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2;1; - 3} \right)\), đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 2}}{1}
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2;1; - 3} \right)\), đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 5}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 3}}{2}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thay đổi, luôn đi qua \(A\) và song song với \(\Delta \). Trong trường hợp \(\left( \alpha \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có chu vi nhỏ nhất thì \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(ax + by + cz - 9 = 0\). Tính giá trị của biểu thức \(S = a - b + c\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Gọi \(\Delta '\) là đường thẳng qua \(A\left( {2;1; - 3} \right)\) và song song với đường thẳng \(\Delta \). Khi đó: \(\Delta ' \subset \left( \alpha \right)\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên mp\(\left( \alpha \right) \Rightarrow H\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\).
Gọi \(K\) là hình chiếu của \(I\) lên đường thẳng \(\Delta '\). Khi đó: \(IH \le IK\). Do đó \(I{H_{\max }} = IK\) khi và chỉ khi \(H\)\( \equiv K\).
Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {1;0;1} \right)\), bán kính \(R = 5\).
Gọi \(\Delta '\) là đường thẳng qua \(A\left( {2;1; - 3} \right)\) và song song với đường thẳng \(\Delta \). Khi đó: \(\Delta ' \subset \left( \alpha \right)\) và phương trình đường thẳng \(\Delta '\) là:
\(\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 3}}{2}\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên mp\(\left( \alpha \right) \Rightarrow H\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\).
Ta có: \({r^2} = {R^2} - I{H^2}\). Do đó, để \(\left( C \right)\) có chu vi nhỏ nhất thì \(IH\) lớn nhất.
Gọi \(K\) là hình chiếu của \(I\) lên đường thẳng \(\Delta '\). Khi đó: \(IH \le IK\). Do đó \(I{H_{\max }} = IK\) khi và chỉ khi \(H\)\( \equiv K\).
\( \Leftrightarrow \left( \alpha \right)\) nhận \(\overrightarrow {IK} \) làm VTPT.
Giả sử \(K\left( {2 + t;1 - 2t; - 3 + 2t} \right) \Rightarrow \)\(\overrightarrow {IK} = \left( {1 + t;1 - 2t; - 4 + 2t} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {IK} .\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} = 0 \Leftrightarrow \left( {1 + t} \right).1 + \left( {1 - 2t} \right).\left( { - 2} \right) + \left( { - 4 + 2t} \right).2 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {IK} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\).
Phương trình mp\(\left( \alpha \right)\) khi đó là: \(2\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 2z - 9 = 0\).
\( \Rightarrow a = 2,b = - 1,c = - 2 \Rightarrow S = a - b + c = 1\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
