Cho đồ thị hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) và parabol \(y = g\left( x \right)\) như hình vẽ.

Câu hỏi số 575553:

Vận dụng

Cho đồ thị hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) và parabol \(y = g\left( x \right)\) như hình vẽ. Biết \(A,B\) là hai giao điểm và \(C,D\) lần lượt là các điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) thoả mãn \(AB = 5,CD = 2\). Gọi \({S_1};{S_2};{S_3}\) là diện tích của hình phẳng được tô đậm và \({S_1} = \dfrac{{25}}{8}\). Giá trị \(\dfrac{{{S_2}}}{{\dfrac{{10}}{3} - {S_3}}}\) bằng

A. \(\dfrac{{32}}{{21}}\).

B. \(\dfrac{{35}}{{23}}\).

C. \(\dfrac{{23}}{{35}}\).

D. \(\dfrac{{21}}{{32}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:575553

Phương pháp giải

Dựa vào cực trị và điểm đi qua của hai đồ thị hàm số, viết phương trình của 2 đồ thị hàm số.

Ứng dụng tích phân, tính các diện tích \({S_1};{S_2};{S_3}\).

Tính tỉ số \(\dfrac{{{S_2}}}{{\dfrac{{10}}{3} - {S_3}}}\).

Giải chi tiết

Gắn hệ trục tọa độ mới như hình vẽ:

+) Viết phương trình đường parabol \(\left( P \right)\,:\,y = a{x^2} + bx + c\):

\(\left( P \right)\) có đỉnh \(D\left( {0;2} \right)\) và đi qua hai điểm \(A\left( { - \dfrac{5}{2};0} \right),B\left( {\dfrac{5}{2};0} \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 2\\ - \dfrac{b}{{2a}} = 0\\\dfrac{{25}}{4}a + \dfrac{5}{2}b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{8}{{25}}\\b = 0\\c = 2\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow \left( P \right):y = - \dfrac{8}{{25}}{x^2} + 2\).

+) Viết phương trình đường cong \(\left( C \right):y = m{x^4} + n{x^2} + p\):

Đồ thị \(\left( C \right)\) có 3 điểm cực trị, có bề lõm hướng lên và điểm cực đại là \(O\left( {0;0} \right)\) , đi qua hai điểm \(A\left( { - \dfrac{5}{2};0} \right),B\left( {\dfrac{5}{2};0} \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m.n < 0\\p = 0\\\dfrac{{625}}{{16}}m + \dfrac{{25}}{4}n + p = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0,n < 0\\p = 0\\25m + 4n = 0\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \)\(\left( C \right):y = m{x^4} - \dfrac{{25m}}{4}{x^2}\,\,\left( {m > 0} \right)\).

Ta có: \({S_1} = \dfrac{{25}}{8} \Rightarrow \int\limits_{ - \dfrac{5}{2}}^0 {\left| {m{x^4} - \dfrac{{25m}}{4}{x^2}} \right|} dx = \dfrac{{25}}{8} \Leftrightarrow - \int\limits_{ - \dfrac{5}{2}}^0 {\left( {m{x^4} - \dfrac{{25m}}{4}{x^2}} \right)} dx = \dfrac{{25}}{8} \Leftrightarrow - \left. {\left( {\dfrac{{m{x^5}}}{5} - \dfrac{{25m{x^3}}}{{12}}} \right)} \right|_{ - \dfrac{5}{2}}^0 = \dfrac{{25}}{8}\)

\( \Leftrightarrow 0 + m.\left( {\dfrac{{{{\left( { - \dfrac{5}{2}} \right)}^5}}}{5} - \dfrac{{25.{{\left( {\dfrac{{ - 5}}{2}} \right)}^3}}}{{12}}} \right) = \dfrac{{25}}{8} \Leftrightarrow \dfrac{{625}}{{48}}m = \dfrac{{25}}{8} \Leftrightarrow m = \dfrac{6}{{25}}\) (thỏa mãn).

\( \Rightarrow \left( C \right):y = \dfrac{6}{{25}}{x^4} - \dfrac{3}{2}{x^2}\).

\( \Rightarrow y' = \dfrac{{24}}{{25}}{x^3} - 3x,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \dfrac{5}{{2\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

Ta gọi giá trị \(k \in \left( {0;\dfrac{5}{2}} \right)\) như hình vẽ \( \Rightarrow k = \dfrac{5}{{2\sqrt 2 }}\).

Khi đó:

\({S_2} = - \int\limits_0^k {\left( {\dfrac{6}{{25}}{x^4} - \dfrac{3}{2}{x^2}} \right)} dx = - \left. {\left( {\dfrac{{6{x^5}}}{{125}} - \dfrac{{{x^3}}}{2}} \right)} \right|_0^k = \dfrac{{{k^3}}}{2} - \dfrac{{6{k^5}}}{{125}}\).

\({S_3} = \int\limits_k^{\dfrac{5}{2}} {\left( { - \dfrac{8}{{25}}{x^2} + 2} \right)} dx = \left. {\left( { - \dfrac{{8{x^3}}}{{75}} + 2x} \right)} \right|_k^{\dfrac{5}{2}} = \left( { - \dfrac{5}{3} + 5} \right) - \left( { - \dfrac{{8{k^3}}}{{75}} + 2k} \right) = \dfrac{{10}}{3} - \left( { - \dfrac{{8{k^3}}}{{75}} + 2k} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{10}}{3} - {S_3} = - \dfrac{{8{k^3}}}{{75}} + 2k\).

\( \Rightarrow \dfrac{{{S_2}}}{{\dfrac{{10}}{3} - {S_3}}} = \dfrac{{\dfrac{{{k^3}}}{2} - \dfrac{{6{k^5}}}{{125}}}}{{ - \dfrac{{8{k^3}}}{{75}} + 2k}} = \dfrac{{\dfrac{{{{\left( {\dfrac{5}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^3}}}{2} - \dfrac{{6{{\left( {\dfrac{5}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^5}}}{{125}}}}{{ - \dfrac{{8{{\left( {\dfrac{5}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^3}}}{{75}} + 2\left( {\dfrac{5}{{2\sqrt 2 }}} \right)}} = \dfrac{{21}}{{32}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.