Có bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho với mỗi \(y\) không có quá 8 số nguyên \(x\) thoả mãn bất

Câu hỏi số 575554:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho với mỗi \(y\) không có quá 8 số nguyên \(x\) thoả mãn bất phương trình \({4^{y - 3x}} + {2^{y - 3x}} \ge {\log _3}\left( {x + {y^2}} \right)\)?

A. \(11\).

B. \(7\).

C. \(6\).

D. \(10\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:575554

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu để đánh giá nghiệm của BPT.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x + {y^2} > 0\).

\({4^{y - 3x}} + {2^{y - 3x}} \ge {\log _3}\left( {x + {y^2}} \right) \Leftrightarrow {4^{y - 3x}} + {2^{y - 3x}} - {\log _3}\left( {x + {y^2}} \right) \ge 0\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {4^{y - 3x}} + {2^{y - 3x}} - {\log _3}\left( {x + {y^2}} \right)\) có \(f'\left( x \right) = - {3.4^{y - 3x}}.\ln 4 - {3.2^{y - 3x}}.\ln 2 - \dfrac{1}{{\left( {x + {y^2}} \right)\ln 3}} < 0,\,\forall x\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - {y^2}; + \infty } \right)\).

Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {y^2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \).

Để với mỗi \(y\) không có quá 8 số nguyên \(x\) thoả mãn bất phương trình trên thì \(f\left( { - {y^2} + 9} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow {4^{y + {y^2} - 9}} + {2^{y + {y^2} - 9}} - {\log _3}9 < 0 \Leftrightarrow {4^{{y^2} + y - 9}} + {2^{{y^2} + y - 9}} - 2 < 0 \Leftrightarrow - 2 < {2^{{y^2} + y - 9}} < 1 \Leftrightarrow {y^2} + y - 9 < 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1 - \sqrt {37} }}{2} < y < \dfrac{{ - 1 + \sqrt {37} }}{2}\), (với \(\dfrac{{ - 1 - \sqrt {37} }}{2} \approx - 3,5,\,\,\dfrac{{ - 1 + \sqrt {37} }}{2} \approx 2,5\)).

Mà \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2} \right\}\): 6 giá trị.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.