Cho đồ thị \(\left( C \right):y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 10\) và điểm A(m;-10). Gọi S là tập tất cả

Câu hỏi số 577498:

Vận dụng cao

Cho đồ thị \(\left( C \right):y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 10\) và điểm A(m;-10). Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của m để có đúng 2 tiếp tuyến của (C) qua A. Tổng tất cả các phần tử của S bằng:

A. 3

B. 5

C. \(\dfrac{{19}}{4}\)

D. \(\dfrac{5}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:577498

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có hệ số góc là \(k\) là: \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Điều kiện để đường thẳng trở thành tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\\f'\left( x \right) = k\end{array} \right.\)

Suy ra phương trình: \(f\left( x \right) = f'\left( x \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) (*)

Đổi thành bài toán: Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Giải chi tiết

Gọi phương trình tiếp tuyến qua điểm A(m;-10) là: \(y = k\left( {x - m} \right) - 10\)

Để đường thẳng trở thành tiếp tuyến thì hệ phương trình sau có nghiệm:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} - 9x + 10 = k\left( {x - m} \right) - 10\\3{x^2} - 6x - 9 = k\,\end{array} \right.\\ \Rightarrow {x^3} - 3{x^2} - 9x + 10 = \left( {3{x^2} - 6x - 9} \right)\left( {x - m} \right) - 10\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - 9x + 10 = 3{x^3} - 3m{x^2} - 6{x^2} + 6mx - 9x + 9m - 10\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - \left( {3m + 3} \right){x^2} + 6mx + 9m - 20 = 0\end{array}\)

(Đổi: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt)

Xét \(y = 2{x^3} - \left( {3m + 3} \right){x^2} + 6mx + 9m - 20\)

\(\begin{array}{l}y' = 6{x^2} - 2\left( {3m + 3} \right)x + 6m\\y' = 0\\ \Leftrightarrow 6{x^2} - 2\left( {3m + 3} \right)x + 6m = 0\\ \Leftrightarrow 6x\left( {x - 1} \right) - 6m\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {6x - 6m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = m\end{array} \right.\end{array}\)

Vẽ BBT:

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}12m - 21 = 0\\ - {m^3} + 3{m^2} + 9m - 20 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{21}}{{12}} = \dfrac{7}{4}\\{m_1} + {m_2} + {m_3} = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tổng tất các các giá trị của m là \(\dfrac{{19}}{4}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.