Xét tất cả các số thực \(x,y\) sao cho \({a^{4x - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}{a^2}}} \le {25^{40 - {y^2}}}\) với
Xét tất cả các số thực \(x,y\) sao cho \({a^{4x - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}{a^2}}} \le {25^{40 - {y^2}}}\) với mọi số thực dương \(a\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + x - 3y\) bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Sử dụng các công thức logarit và bất phương trình logarit:
\({\log _a}{b^n} = n{\log _a}b\); \({\log _a}f(x) \le {\log _a}g(x) \Leftrightarrow f(x) \le g(x)\) với \(a > 1\)
- Để bất phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c > 0,\,\forall x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0}\\{\Delta \le 0}\end{array}} \right.\)
- Đánh giá giá trị lớn nhất theo đường tròn.
Ta có \({a^{4x - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}{a^2}}} \le {25^{40 - {y^2}}} \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}{a^{4x - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}{a^2}}} \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}{25^{40 - {y^2}}} \Leftrightarrow \left( {4x - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}a} \right){\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}a \le 2\left( {40 - {y^2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\rm{log}}_5^2a - 2x{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}a + 40 - {y^2} \ge 0\)
Coi (*) là bất phương trình bậc hai ẩn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}a\)
Để \(\left( {\rm{*}} \right)\) đúng với mọi số thực dương \(a\) thì
\({\rm{\Delta '}} \le 0 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {40 - {y^2}} \right) \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 40 \le 0\)
Ta có biểu thức (1) là hình tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \({R_1} = 2\sqrt {10} \).
Mặt khác \(P = {x^2} + {y^2} + x - 3y \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + x - 3y - P = 0\) là phương trình đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) tâm \(I\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\), bán kính \({R_2} = \dfrac{1}{2}\sqrt {10 + 4P} .\)
Để tồn tại điểm chung của đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) với hình tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) thì
\({R_2} \le {R_1} + OI \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sqrt {10 + 4P} \le 2\sqrt {10} + \dfrac{1}{2}\sqrt {10} \Leftrightarrow \sqrt {10 + 4P} \le 5\sqrt {10} \Leftrightarrow P \le 60.\)
Vậy \({P_{{\rm{max}}}} = 60\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
