Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\left|

Câu hỏi số 577833:

Vận dụng cao

Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\left| {{z_3}} \right| = 2\) và \(8\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 3{z_1}{z_2}\). Gọi \(A,B\), \(C\) lần lượt là các điểm biểu diễn của \({z_1},{z_2},{z_3}\) trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác \(ABC\) bằng

A. \(\dfrac{{\sqrt {55} }}{{32}}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt {55} }}{{16}}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt {55} }}{{44}}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt {55} }}{8}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:577833

Phương pháp giải

- Sử dụng hệ thức mô-đun của số phức

\({z_1} = {z_2} \Leftrightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\); \({\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)\)

- Nếu \(M\) là điểm biểu diễn của số phức \(z\) thì \(OM = \left| z \right|\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2 \Rightarrow OA = OB = 2;\left| {{z_3}} \right| = 1 \Rightarrow OC = 1\).

\( + )8\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 3{z_1}{z_2} \Leftrightarrow 8\left( {{z_1} + {z_2}} \right) = 3\dfrac{{{z_1}{z_2}}}{{{z_3}}} \Leftrightarrow 8\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3\left| {\dfrac{{{z_1}{z_2}}}{{{z_3}}}} \right| \Leftrightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \dfrac{3}{2}\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), biểu diễn số phức \(\dfrac{{{z_1} + {z_2}}}{2}\), ta có: \(OH = \left| {\dfrac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right| = \dfrac{3}{4}\)

+) \({\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right) \Leftrightarrow \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \dfrac{{\sqrt {55} }}{2} \Rightarrow AB = \dfrac{{\sqrt {55} }}{2}\).

+) \(8\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 3{z_1}{z_2} \Leftrightarrow 8{z_1}{z_3} + 8{z_2}{z_3} = 3{z_1}{z_2} \Leftrightarrow {z_1}{z_3} + {z_2}{z_3} = \dfrac{3}{8}{z_1}{z_2}\)

Đặt \(2a = \dfrac{3}{8}\), suy ra: \({z_1}{z_3} + {z_2}{z_3} = 2a{z_1}{z_2} \Leftrightarrow {z_1}\left( {{z_3} - a{z_2}} \right) = \left( {a{z_1} - {z_3}} \right){z_2}\)

\( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right|\left| {{z_3} - a{z_2}} \right| = \left| {a{z_1} - {z_3}} \right|\left| {{z_2}} \right|\)

\( \Leftrightarrow {\left| {{z_3} - a{z_2}} \right|^2} = {\left| {a{z_1} - {z_3}} \right|^2} \Leftrightarrow {z_2}\overline {{z_3}} + \overline {{z_2}} {z_3} = {z_1}\overline {{z_3}} + \overline {{z_1}} {z_3} = b\)

\(A{C^2} = {\left| {{z_3} - {z_1}} \right|^2} = {\left| {{z_3}} \right|^2} + {\left| {{z_1}} \right|^2} - \left( {{z_1}\overline {{z_3}} + \overline {{z_1}} {z_3}} \right) = 5 - b\).

\(B{C^2} = {\left| {{z_3} - {z_2}} \right|^2} = {\left| {{z_3}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} - \left( {{z_2}\overline {{z_3}} + \overline {{z_2}} {z_3}} \right) = 5 - b\)

Suy ra: \(A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow AC = BC\) hay tam giác \(ABC\) cân tại \(C\).

\(CH = OC - OH = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}\)

Vậy \({{S}_{\vartriangle ABC}}=\dfrac{1}{2}AB\cdot CH=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{55}}{2}\cdot \frac{1}{4}=\dfrac{\sqrt{55}}{16}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.