Cho tam giác \({\rm{ABC}}\) có ba góc đều nhọn. Các đường cao \(AK,BE\) và \({\rm{CF}}\) cắt nhau tại
Cho tam giác \({\rm{ABC}}\) có ba góc đều nhọn. Các đường cao \(AK,BE\) và \({\rm{CF}}\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \({\rm{I}}\) là trung điểm của đoạn \({\rm{AH}},{\rm{N}}\) là trung điểm của đoạn \({\rm{BC}}\).
a) Chứng minh bốn điểm \({\rm{A}},{\rm{E}},{\rm{H}},{\rm{F}}\) nằm trên cùng một đường tròn.
b) Chứng minh \({\rm{NE}}\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \({\rm{AH}}\).
c) Chứng minh \(C{I^2} - I{E^2} = CK.CB\).
Quảng cáo
a) E, F cùng thuộc một đường tròn đường kính AH từ đó có điều phải chứng minh.
b) \(\angle NEC = \angle NCE\); \(\angle NCE = \angle IHE\); \(\angle IEH = \angle IHE\) suy ra \(\angle IEH = \angle NEC\)
Suy ra \(IE \bot NE\)
Lại có \(I\) là trung điểm của \(AH\) nên \(I\) là tâm đường tròn đường kính \(AH\)
\( \Rightarrow NE\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AH\)
c) \(C{I^2} - I{E^2}\)\( = CM.CJ\); \(CK.CB = CH.CF\); \(CH.CF = CM.CJ\) từ đó suy ra điều phải chứng minh
a) Chứng minh bốn điểm \({\rm{A}},{\rm{E}},{\rm{H}},{\rm{F}}\) nằm trên cùng một đường tròn.
Tam giác \(ABC\) có đường cao \(AK,CF\) cắt nhau tại \(H\)
\( \Rightarrow \angle AFH = {90^0}\) và \(\angle AEH = {90^0}\)
\(\Delta AFH\) có \(\angle AFH = {90^0}\)\( \Rightarrow E\) thuộc đường tròn đường kính \(AH\)
\(\Delta AFH\) có \(\angle AEH = {90^0} \Rightarrow F\) thuộc đường tròn đường kính \(AH\)
\( \Rightarrow E,F\) thuộc đường tròn đường kính \(AH\)
\( \Rightarrow A,E,H,F\) nằm trên cùng một đường tròn.
b) Chứng minh \(NE\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AH\).
\(BE\) là đường cao của tam giác \(ABC \Rightarrow \angle BEC = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta BEC\) vuông tại \(E\)
Có \(N\) là trung điểm của cạnh huyền \(BC\)\( \Rightarrow NE = NC\) (Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền)
\( \Rightarrow \Delta CEN\) cân tại \(E \Rightarrow \angle NEC = \angle NCE\) (1)
Tam giác \(ABC\) có đường cao \(AK,BE\) cắt nhau tại \(H\)\( \Rightarrow \angle HKC = {90^0};\angle HEC = {90^0}\)
Xét tứ giác \(CKHE\) có: \(\angle HKC + \angle HEC = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc \(\angle HKC;\angle HEC\) là hai góc đối nhau
\( \Rightarrow CKHE\) nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle KCE = \angle AHE\) (cùng bù với \(\angle KHE\))
\( \Rightarrow \angle NCE = \angle IHE\) (2)
Xét \(\Delta AHE\) vuông tại \(E\) có \(I\) là trung điểm của cạnh huyền \(AH\)\( \Rightarrow HI = IE\)(Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền)
\( \Rightarrow \Delta IEH\) cân tại \(I \Rightarrow \angle IEH = \angle IHE\) (3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra \(\angle IEH = \angle NEC\)
Ta có: \(\angle HEC = \angle HEN + \angle NEC = {90^0}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \angle HEN + \angle IEH = {90^0}\\ \Leftrightarrow \angle IEN = {90^0}\\ \Rightarrow IE \bot NE\end{array}\)
Lại có \(I\) là trung điểm của \(AH\) nên \(I\) là tâm đường tròn đường kính \(AH\)
\( \Rightarrow NE\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AH\)
c) Chứng minh \(C{I^2} - I{E^2} = CK.CB\).
Kéo dài CI cắt đường tròn \(\left( I \right)\) lần lượt tại M và J như hình vẽ.
Ta có: \(IE = IJ = IM\) (cùng bằng bán kính đường tròn \(\left( I \right)\)).
Khi đó ta có:
\(C{I^2} - I{E^2} = C{I^2} - I{J^2} = \left( {CI - IJ} \right)\left( {CI + IJ} \right)\)
\( = \left( {CI - IM} \right)\left( {CI + IJ} \right) = CM.CJ\) (1)
Xét \(\Delta CHK\) và \(\Delta CBF\) có: \(\angle CKH = \angle CFB = {90^0}\), \(\angle BCF\) chung
\( \Rightarrow \Delta CHK \sim \Delta CBF\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{CH}}{{CB}} = \dfrac{{CK}}{{CF}} \Rightarrow CK.CB = CH.CF\) (2)
Tứ giác HMJF nội tiếp đường tròn (I) nên \(\angle CMH = \angle CFJ\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện).
Xét \(\Delta CHM\) và \(\Delta CJF\) có: \(\angle FCJ\) chung; \(\angle CMH = \angle CFJ\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta CHM \sim \Delta CJF\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{CH}}{{CJ}} = \dfrac{{CM}}{{CF}} \Rightarrow CH.CF = CM.CJ\) (3)
Từ (1), (2), (3) \(C{I^2} - I{E^2} = CK.CB\) (đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
