Cho \(m,n\) là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng \(m + \dfrac{{\sqrt {111} }}{n}\) là số vô tỉ.

Câu hỏi số 583862:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:583862

Phương pháp giải

+ Sử dụng phương pháp giả sử phản chứng để chứng minh \(\sqrt {111} \) và \(m + \dfrac{{\sqrt {111} }}{n}\) là số vô tỉ.

+ Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng \(\dfrac{a}{b}\left( {a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0} \right)\)

+ Với \(x,y \in \mathbb{Q};n \in {\mathbb{N}^*}\) thì \({\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^n} = \dfrac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\)

Giải chi tiết

* Chứng minh \(\sqrt {111} \) là số vô tỉ:

Giả sử \(\sqrt {111} \) là số hữu tỉ.

Khi đó \(\sqrt {111} = \dfrac{a}{b}\left( {a,b \in {\mathbb{N}^*};b \ne 0} \right)\) và \(\dfrac{a}{b}\) là tối giản

\( \Rightarrow 111 = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\) hay \({a^2} = 111{b^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} \vdots 111\). Mà \(111\) là số nguyên tố

\( \Rightarrow a \vdots 111\left( * \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} \vdots {111^2}\\ \Rightarrow 111.{b^2} \vdots {111^2}\\ \Rightarrow {b^2} \vdots 111\\ \Rightarrow b \vdots 111\left( {**} \right)\end{array}\)

Từ \(\left( * \right)\) và \(\left( {**} \right) \Rightarrow \dfrac{a}{b}\) không là phân số tối giản (mâu thuẫn)

\( \Rightarrow \sqrt {111} \) là số vô tỉ

* Chứng minh \(m + \dfrac{{\sqrt {111} }}{n}\) là số vô tỉ.

Giả sử \(m + \dfrac{{\sqrt {111} }}{n} = x\) là số hữu tỉ

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {111} }}{n} = x - m\\ \Rightarrow \sqrt {111} = n\left( {x - m} \right)\end{array}\)

Vì \(m,n,x\) là số hữu tỉ nên \(\sqrt {111} \) cũng là số hữu tỉ (Mâu thuẫn: ta chứng minh được \(\sqrt {111} \) là số vô tỉ)

Vậy \(m + \dfrac{{\sqrt {111} }}{n}\) là số vô tỉ (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link