Cho $m,n$ là các số hữu tỉ, $n \ne 0$. Chứng minh rằng $m + \dfrac{{\sqrt {111} }}{n}$

Câu hỏi số 583862:

Vận dụng cao

Cho $m,n$ là các số hữu tỉ, $n \ne 0$. Chứng minh rằng $m + \dfrac{{\sqrt {111} }}{n}$ là số vô tỉ.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:583862

Phương pháp giải

+ Sử dụng phương pháp giả sử phản chứng để chứng minh $\sqrt {111} $ và $m + \dfrac{{\sqrt {111} }}{n}$ là số vô tỉ.

+ Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng $\dfrac{a}{b}\left( {a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0} \right)$

+ Với $x,y \in \mathbb{Q};n \in {\mathbb{N}^*}$ thì ${\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^n} = \dfrac{{{x^n}}}{{{y^n}}}$

Giải chi tiết

* Chứng minh $m + \dfrac{{\sqrt {111} }}{n}$ là số vô tỉ.

Giả sử $m + \dfrac{{\sqrt {111} }}{n} = x$ là số hữu tỉ

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {111} }}{n} = x - m\\ \Rightarrow \sqrt {111} = n\left( {x - m} \right)\end{array}$

Theo giả thiết, $m, n \in \mathbb{Q}$. Theo giả sử, $x \in \mathbb{Q}$.

Vì tập hợp các số hữu tỉ $\mathbb{Q}$ có tính chất khép kín với phép trừ và phép nhân (tức là hiệu và tích của các số hữu tỉ luôn là một số hữu tỉ), nên biểu thức $n(x - m)$ cũng là một số hữu tỉ.

Từ đẳng thức $\sqrt{111} = n(x - m)$, ta suy ra $\sqrt{111}$ phải là một số hữu tỉ.

Tuy nhiên, ta có $111 = 3 \times 37$ (là tích của các số nguyên tố) nên $111$ không phải là một số chính phương. Do đó, căn bậc hai của $111$ ($\sqrt{111}$) phải là một số vô tỉ.

Việc $\sqrt{111}$ đồng thời là số hữu tỉ và số vô tỉ là một điều vô lý.

Sự mâu thuẫn này chứng tỏ giả sử ban đầu của chúng ta là sai.

Vậy, với $m, n$ là các số hữu tỉ ($n \neq 0$), biểu thức $m + \frac{\sqrt{111}}{n}$ chắc chắn là một số vô tỉ. (Điều phải chứng minh)

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 7 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link