Cho nửa đường tròn tâm O bán kính 3cm, có đường kính AB. Gọi C là điểm thuộc nửa đường

Câu hỏi số 584161:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn tâm O bán kính 3cm, có đường kính AB. Gọi C là điểm thuộc nửa đường tròn sao cho \(AC > BC\). Vẽ OD vuông góc với AC (D thuộc AC) và CE vuông góc với AB (E thuộc AB). Tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn cắt tia AC tại F.

a) Chứng minh: ODCE là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(\angle OCD = \angle CBF\)

c) Cho \(\angle BAC = {30^0}\). Tính diện tích phần tam giác ABF nằm bên ngoài đường tròn (O;3cm).

d) Khi C di động trên nửa đường tròn (O;3cm). Tìm vị trí điểm C sao cho chu vi tam giác OCE lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:584161

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Vận dụng tính chất của tam giác cân.

Vận dụng kiến thức góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung.

c) Tính \({S_{qOBC}} = \dfrac{{\pi .{R^2}.sd\angle BOC}}{{{{360}^0}}}\); \({S_{\Delta OAC}} = \dfrac{1}{2}OD.AC\); \({S_{\Delta ABF}} = \dfrac{1}{2}AB.BF\)

Khi đó, \(S = {S_{\Delta ABF}} - {S_{\Delta OAC}} - {S_{qOBC}}\)

d) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\angle ODC = \angle OEC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\) \(\angle ODC + \angle OEC = {180^0}\).

Mà 2 góc này ở vị trí hai góc đối diện của tứ giác ODCE.

\( \Rightarrow ODCE\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Ta có: \(OA = OC\,\,\left( { = 3cm} \right)\) nên \(\Delta OAC\) cân tại O \( \Rightarrow \angle OCA = \angle OAC\) (2 góc ở đáy).

Mà \(\angle OAC = \angle CBF\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC)

\( \Rightarrow \angle OCA = \angle CBF\) hay \(\angle OCD = \angle CBF\) (đpcm).

c) Ta có: \(\angle BOC = 2\angle BAC = {60^0}\) (góc ở tâm và goc nội tiếp cùng chắn cung BC).

\( \Rightarrow {S_{qOBC}} = \dfrac{{\pi {{.3}^2}.60}}{{360}} = \dfrac{{3\pi }}{2}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Xét tam giác vuông OAD ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OD = AB.\sin {30^0} = 3.\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\,\,\left( {cm} \right)\\AD = AB.\cos {30^0} = 3.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\,\,\left( {cm} \right)\end{array} \right.\).

Mà \(OD \bot AC\) nên \(D\) là trung điểm của AC (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow AC = 2AD = 3\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta OAC}} = \dfrac{1}{2}OD.AC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.3\sqrt 3 = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{4}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Xét tam giác vuông ABF có: \(BF = AB.\tan {30^0} = 6.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABF}} = \dfrac{1}{2}AB.BF = \dfrac{1}{2}.6.2\sqrt 3 = 6\sqrt 3 \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy diện tích phần tam giác ABF nằm bên ngoài đường tròn (O;3cm) là:

\(S = {S_{\Delta ABF}} - {S_{\Delta OAC}} - {S_{qOBC}} = 6\sqrt 3 - \dfrac{{9\sqrt 3 }}{4} - \dfrac{{3\pi }}{2} = \dfrac{{15\sqrt 3 }}{4} - \dfrac{{3\pi }}{2}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

d) Chu vi tam giác OCE là: \({P_{OCE}} = OC + OE + CE = 3 + OE + CE\,\,\left( {cm} \right)\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OCE ta có: \(O{E^2} + C{E^2} = O{C^2} = 9\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\begin{array}{l}\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {O{E^2} + C{E^2}} \right) \ge {\left( {OE + CE} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2.9 \ge {\left( {OE + CE} \right)^2}\\ \Leftrightarrow OE + CE \le \sqrt {18} = 3\sqrt 2 \end{array}\)

\( \Rightarrow {P_{OCE}} \le 3 + 3\sqrt 2 \). Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}OE = CE\\O{E^2} + C{E^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow OE = CE = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

Khi đó tam giác OCE vuông cân tại O \( \Rightarrow \angle BOC = {45^0}\).

Vậy điểm C nằm trên đường tròn sao cho \(\angle BOC = {45^0}\) thì chu vi tam giác OCE đạt giá trị lớn nhất bằng \(3 + 3\sqrt 2 \).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link