Cho hàm số: y = x3 + (cos α – 3sin α)x2 – (16cos2 α)x (1). Khảo sát hàm số với α = 900 (2). Chứng minh hàm số có cực trị với mọi α ∈ R và x12 + x22

Câu hỏi số 5862:

Cho hàm số: y = $\frac{2}{3}$ x³ + (cos α – 3sin α)x² – (16cos² α)x (1). Khảo sát hàm số với α = 90⁰ (2). Chứng minh hàm số có cực trị với mọi α ∈ R và x₁² + x₂² < 6 $\pi$ (trong đó x₁ , x₂ là điểm cực trị)

A. -4cosα - 3sin2α + 13 ≤ 5 + 13 = 18 Vậy x₁² + x₂² ≤ 18 ⇒ x₁² + x₂² < 6 $\pi$ (vì 6 $\pi$ > 18)

B. 4cosα + 3sin2α + 13 ≤ 5 + 13 = 18 Vậy x₁² + x₂² ≤ 18 ⇒ x₁² + x₂² < 6 $\pi$ (vì 6 $\pi$ > 18)

C. 4cosα - 3sin2α + 13 ≤ 5 + 13 = 18 Vậy x₁² + x₂² ≤ 18 ⇒ x₁² + x₂² < 6 $\pi$ (vì 6 $\pi$ > 18)

D. 4cosα - 3sin2α - 13 ≤ 5 + 13 = 18 Vậy x₁² + x₂² ≤ 18 ⇒ x₁² + x₂² < 6 $\pi$ (vì 6 $\pi$ > 18)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5862

Giải chi tiết

(1). Học sinh tự giải

(2). Ta có: y' = 2x² + 2(cos α – 3sin α)x – 16cos² α = 0 (*)

∆’ = (cos α – 3sin α)² + 32cos² α ≥ 0 ∀ α ∈ R

∆’ ≠ 0 vì nếu ∆’ = 0 thì $\left\{\begin{matrix} cos\alpha -3sin\alpha =0\\cos\alpha =0 \end{matrix}\right.$ ⇒ cos α = sin α (vô lý)

Vậy ∆’ > 0 nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁ , x₂ tức là hàm số có cực trị với mọi α ∈ R

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² -2x₁x₂

(Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình (*))

= (3sin α – cos α)² + 16cos² α

= 8cos² α – 3sin2α + 9 = 4(1 + cos2α) – 3sin2α + 9

= 4cos2α – 3sin2α + 13

Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki: 4cos2α – 3sin2α ≤ $\sqrt{4^{2}+3^{2}}$ = 5

Do đó 4cosα - 3sin2α + 13 ≤ 5 + 13 = 18

Vậy x₁² + x₂² ≤ 18 ⇒ x₁² + x₂² < 6 $\pi$ (vì 6 $\pi$ > 18)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.