Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và BC = a, AC = b, AB = c, diện tích S, khi đó: \(\cot A + \cot B + \cot C\)

Câu hỏi số 591053:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và BC = a, AC = b, AB = c, diện tích S, khi đó: \(\cot A + \cot B + \cot C\) bằng

A. \(\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}.\)

B. \(\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{S}.\)

C. \(\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2S}}.\)

D. \(\dfrac{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{S}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:591053

Phương pháp giải

Sử dụng:

Định lí Sin trong tam giác \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\).

Hệ quả định lí cosin trong tam giác \(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \(S = \dfrac{{abc}}{{4R}}\).

Giải chi tiết

Áp dụng định lí Sin trong tam giác ta có: \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\).

\( \Rightarrow \sin A = \dfrac{a}{{2S}},\,\,\sin B = \dfrac{b}{{2R}},\,\,\sin C = \dfrac{c}{{2R}}\).

Áp dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác \(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\), \(\cos B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\), \(\cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\).

\( \Rightarrow \cot A = \dfrac{{\cos A}}{{\sin A}} = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}:\dfrac{a}{{2S}} = \dfrac{{S\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}{{abc}}\)

Tương tự ta có: \(\cot B = \dfrac{{S\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)}}{{abc}},\,\,\cot C = \dfrac{{S\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{abc}}\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\cot A + \cot B + \cot C\\ = \dfrac{{S\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}{{abc}} + \dfrac{{S\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)}}{{abc}} + \dfrac{{S\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{abc}}\\ = \dfrac{{S\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2} + {a^2} + {c^2} - {b^2} + {a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{abc}}\\ = \dfrac{{S\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{abc}}\end{array}\)

Lại có \(S = \dfrac{{abc}}{{4R}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cot A + \cot B + \cot C = \dfrac{{S\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{abc}}\\ = \dfrac{{abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{4Rabc}} = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4R}}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.