Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và BC = a, AC = b, AB = c, diện tích S, khi đó: \(\cot A + \cot B + \cot C\)

Câu hỏi số 591053:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và BC = a, AC = b, AB = c, diện tích S, khi đó: \(\cot A + \cot B + \cot C\) bằng

A. \(\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}.\)

B. \(\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{S}.\)

C. \(\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2S}}.\)

D. \(\dfrac{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{S}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:591053

Phương pháp giải

Sử dụng:

Định lí Sin trong tam giác \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\).

Hệ quả định lí cosin trong tam giác \(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \(S = \dfrac{{abc}}{{4R}}\).

Giải chi tiết

Áp dụng định lí Sin trong tam giác ta có: \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\).

\( \Rightarrow \sin A = \dfrac{a}{{2S}},\,\,\sin B = \dfrac{b}{{2R}},\,\,\sin C = \dfrac{c}{{2R}}\).

Áp dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác \(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\), \(\cos B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\), \(\cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\).

\( \Rightarrow \cot A = \dfrac{{\cos A}}{{\sin A}} = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}:\dfrac{a}{{2S}} = \dfrac{{S\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}{{abc}}\)

Tương tự ta có: \(\cot B = \dfrac{{S\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)}}{{abc}},\,\,\cot C = \dfrac{{S\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{abc}}\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\cot A + \cot B + \cot C\\ = \dfrac{{S\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}{{abc}} + \dfrac{{S\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)}}{{abc}} + \dfrac{{S\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{abc}}\\ = \dfrac{{S\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2} + {a^2} + {c^2} - {b^2} + {a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{abc}}\\ = \dfrac{{S\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{abc}}\end{array}\)

Lại có \(S = \dfrac{{abc}}{{4R}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cot A + \cot B + \cot C = \dfrac{{S\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{abc}}\\ = \dfrac{{abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{4Rabc}} = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4R}}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10