Cho tam giác \(\Delta ABC\) có \(\left( {AB < AC} \right)\) và \(AD\) là tia phân giác của góc \(A\,\left(
Cho tam giác \(\Delta ABC\) có \(\left( {AB < AC} \right)\) và \(AD\) là tia phân giác của góc \(A\,\left( {D \in BC} \right).\) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC\,\left( {H \in BC} \right)\) và gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Chứng minh rằng: \(\angle CAM < \angle CAD < \angle CAH.\)
Quảng cáo
- Góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn.
Ta có: \(\angle CAD = \dfrac{{\angle BAC}}{2} \left( 1 \right)\) (\(AD\) là tia phân giác của góc \(A\,\left( {D \in BC} \right)\))
Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AM = ME\)
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ECM\) có:
\(MA = ME\) (cách dựng)
\(\angle AMB = \angle EMC\) (đối đỉnh)
\(MB = MC\) (\(M\) là trung điểm của \(BC\))
\( \Rightarrow \Delta ABM = \Delta ECM\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow AB = EC\) (hai cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow \angle BAM = \angle CEM\) (hai góc tương ứng) \(\left( 2 \right)\)
Xét \(\Delta AEC\) có: \(CE < AC\left( {EC = AB < AC\left( {gt} \right)} \right)\)
\( \Rightarrow \angle EAC < \angle AEC \left( 3 \right)\)
Từ \(\left( 2 \right),\,\left( 3 \right) \Rightarrow \angle MAB > \angle MAC \Rightarrow \angle CAM + \angle CAM < BAM + CAM\)
\( \Rightarrow 2\angle CAM < \angle BAC\) hay \(\angle CAM < \dfrac{{\angle BAC}}{2} \left( 4 \right)\)
Xét \(\Delta CAH\) vuông tại \(H\) ta có:
\(\angle CAH = {90^0} - \angle ACH = \dfrac{{\angle BAC}}{2} + \dfrac{{\angle ABC}}{2} + \dfrac{{\angle ACB}}{2} - \angle ACB = \dfrac{{\angle BAC}}{2} + \dfrac{{\angle ABC - \angle ACB}}{2} > \dfrac{{\angle BAC}}{2} \left( 5 \right)\)
(vì \(\angle ABC > \angle ACB\))
Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 4 \right),\,\left( 5 \right) \Rightarrow \angle CAM < \angle CAD < \angle CAH.\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
