Cho \(\dfrac{a}{{x + 2y + z}} = \dfrac{b}{{2x + y - z}} = \dfrac{c}{{4x - 4y + z}}\). Chứng minh rằng: với \(xyz

Câu hỏi số 592712:

Vận dụng cao

Cho \(\dfrac{a}{{x + 2y + z}} = \dfrac{b}{{2x + y - z}} = \dfrac{c}{{4x - 4y + z}}\). Chứng minh rằng: với \(xyz \ne 0\) và các mẫu số khác \(0\) thì

\(\dfrac{x}{{a + 2b + c}} = \dfrac{y}{{2a + b - c}} = \dfrac{z}{{4a - 4b + c}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:592712

Phương pháp giải

+ Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \dfrac{{a - c - e}}{{b - d - f}}\)

Giải chi tiết

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

+ \(\dfrac{a}{{x + 2y + z}} = \dfrac{b}{{2x + y - z}} = \dfrac{c}{{4x - 4y + z}} = \dfrac{{a + 2b + c}}{{\left( {x + 2y + z} \right) + 2\left( {2x + y - z} \right) + \left( {4x - 4y + z} \right)}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{a + 2b + c}}{{x + 2y + z + 4x + 2y - 2z + 4x - 4y + z}}\\ = \dfrac{{a + 2b + c}}{{9x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

+ \(\dfrac{a}{{x + 2y + z}} = \dfrac{b}{{2x + y - z}} = \dfrac{c}{{4x - 4y + z}} = \dfrac{{2a + b - c}}{{2\left( {x + 2y + z} \right) + \left( {2x + y - z} \right) - \left( {4x - 4y + z} \right)}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{2a + b - c}}{{2x + 4y + 2z + 2x + y - z - 4x + 4y - z}}\\ = \dfrac{{2a + b - c}}{{9y}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

+ \(\dfrac{a}{{x + 2y + z}} = \dfrac{b}{{2x + y - z}} = \dfrac{c}{{4x - 4y + z}} = \dfrac{{4a - 4b + c}}{{4\left( {x + 2y + z} \right) - 4\left( {2x + y - z} \right) + \left( {4x - 4y + z} \right)}}\)

\(\) \(\begin{array}{l} = \dfrac{{4a - 4b + c}}{{4x + 8y + 4z - \left( {8x + 4y - 4z} \right) + \left( {4x - 4y + z} \right)}}\\ = \dfrac{{4a - 4b + c}}{{4x + 8y + 4z - 8x - 4y + 4z + 4x - 4y + z}}\\ = \dfrac{{4a - 4b + c}}{{9z}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \dfrac{{a + 2b + c}}{{9x}} = \dfrac{{2a + b - c}}{{9y}} = \dfrac{{4a - 4b + c}}{{9z}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{a + 2b + c}}{x} = \dfrac{{2a + b - c}}{y} = \dfrac{{4a - 4b + c}}{z}\)

\( \Rightarrow \dfrac{x}{{a + 2b + c}} = \dfrac{y}{{2a + b - c}} = \dfrac{z}{{4a - 4b + c}}\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link