Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). AB = a, BC = a, góc giữa cạnh bên SB và mp(ABC) bằng 600. M là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách từ B đến (SMC).

Câu hỏi số 5929:

Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). AB = a, BC = a, góc giữa cạnh bên SB và mp(ABC) bằng 60⁰. M là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách từ B đến (SMC).

A. Khoảng cách từ B đến mp(SMC): d(B; (SMC) = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

B. Khoảng cách từ B đến mp(SMC): d(B; (SMC) = $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

C. Khoảng cách từ B đến mp(SMC): d(B; (SMC) = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

D. Khoảng cách từ B đến mp(SMC): d(B; (SMC) = $\frac{3a\sqrt{3}}{4}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5929

Giải chi tiết

Đặt SA = m, từ B dựng Bz// SA => Bz ⊥ (ABC).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Ta có A(-a; 0; 0) B(0; 0; 0) C(0; a; 0) S(-a; 0; m).

Vì M là trung điểm của AB => M $\left ( -\frac{a}{2};0;0 \right )$

Chọn VTCP(SB) là $\overrightarrow{SB}=(a;0;-m)$

VTPT(ABC) $\vec{n}=(0;0;1)$

Theo giả thiết sin60⁰ = $\left | cos(\overrightarrow{SB};\vec{n}) \right |=\frac{|m|}{\sqrt{a^{2}+m^{2}}}$

<=> $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{|m|}{\sqrt{a^{2}+m^{2}}}$ <=> $\sqrt{3}.\sqrt{a^{2}+m^{2}}$ = 2|m|

<=> m² = 3a² => m = a√3

Ta được: S(-a; 0; a√3) ; $\overrightarrow{SM}=\left ( \frac{a}{2};0;-a\sqrt{3} \right )$ ; $\overrightarrow{SC}=\left ( a;a;-a\sqrt{3} \right )$

=> $\left [ \overrightarrow{SM},\overrightarrow{SC} \right ]=\left ( a^{2}\sqrt{3};-\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2};\frac{a^{2}}{2} \right )$

Chọn VTCP(SMC) là (2 √3; - √3; 1).

Ta có (SMC): 2√3 x - √3 y + z + a√3 = 0.

Vậy khoảng cách từ B đến mp(SMC) d(B; (SMB) = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$ .

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.