Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai trung tuyến BD và CK. Tìm giá trị nhỏ
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai trung tuyến BD và CK. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\cos \alpha \).
Quảng cáo
Tính \(\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {CK} \) theo BC.
Sử dụng công thức độ dài đường trung tuyến và BĐT \(ab \le \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\), đánh giá \(BD.CK\) với BC.
Sử dụng công thức \(\cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {CK} } \right|}}{{BD.CK}}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {CK} = \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {AK} - \overrightarrow {AC} } \right)\\ = - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AK} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AK} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \end{array}\)
Do tam giác ABC vuông tại A nên \(AB \bot AC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\\\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {AK} = 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {CK} = - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AK} \\ = - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = - \dfrac{1}{2}\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) = - \dfrac{1}{2}B{C^2}\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {CK} } \right| = \dfrac{{B{C^2}}}{2}\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}BD.CK \le \dfrac{{B{D^2} + C{K^2}}}{2}\\ \Rightarrow BD.CK \le \dfrac{{\dfrac{{2A{B^2} + 2B{C^2} - A{C^2}}}{4} + \dfrac{{2A{C^2} + 2B{C^2} - A{B^2}}}{4}}}{2}\\ \Rightarrow BD.CK \le \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} + 4B{C^2}}}{8} = \dfrac{{5B{C^2}}}{8}\end{array}\)
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai trung tuyến BD và CK \( \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {CK} } \right|}}{{BD.CK}} \ge \dfrac{{B{C^2}}}{2}:\dfrac{{5B{C^2}}}{8} = \dfrac{4}{5}\).
Dấu “=” xảy ra \({\left( {\cos \alpha } \right)_{\min }} = \dfrac{4}{5} \Leftrightarrow BD = CK \Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân tại A.
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
