Cho \(\Delta ABC\) có AB = 3, BC = 6 và CA = 8. a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và độ

Câu hỏi số 592977:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) có AB = 3, BC = 6 và CA = 8.

a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và độ dài đường trung tuyến AM.

b) Cho điểm I thỏa mãn: \(3\overrightarrow {CI} = 5\overrightarrow {IA} \). Tính \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BI} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:592977

Phương pháp giải

a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC tính cosA: \(\cos A = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}\).

Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos A\).

Tính độ dài đường trung tuyến AM: \(A{M^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4}\).

b) Tính AI.

Phân tích \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AI} \left( {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {AB} } \right) = A{I^2} - \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} \).

Giải chi tiết

a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có: \(\cos A = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} = \dfrac{{{3^2} + {8^2} - {6^2}}}{{2.3.8}} = \dfrac{{37}}{{48}}.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos A = 3.8.\dfrac{{37}}{{48}} = \dfrac{{37}}{2}.\)

Độ dài trung tuyến AM là:

\(\begin{array}{l}A{M^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4} = \dfrac{{{3^2} + {8^2}}}{2} - \dfrac{{{6^2}}}{4} = \dfrac{{55}}{2}\\ \Rightarrow AM = \dfrac{{\sqrt {110} }}{2}.\end{array}\)

b) Vì \(3\overrightarrow {CI} = 5\overrightarrow {IA} \) nên \(\overrightarrow {IA} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow {CI} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {CI} \) là hai vectơ cùng hướng và \(IA = \dfrac{3}{5}CI\).

=> I nằm giữa A, C và \(AI = \dfrac{3}{8}AC = \dfrac{3}{8}.8 = 3.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AI} \left( {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {AB} } \right) = A{I^2} - \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} \\ = {\left( {\dfrac{3}{8}AC} \right)^2} - \dfrac{3}{8}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \\ = {\left( {\dfrac{3}{8}.8} \right)^2} - \dfrac{3}{8}.\dfrac{{37}}{2} = \dfrac{{33}}{{16}}\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10