Cho \(\Delta ABC\) có AB = 3, BC = 6 và CA = 8. a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và độ

Câu hỏi số 592977:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) có AB = 3, BC = 6 và CA = 8.

a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và độ dài đường trung tuyến AM.

b) Cho điểm I thỏa mãn: \(3\overrightarrow {CI} = 5\overrightarrow {IA} \). Tính \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BI} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:592977

Phương pháp giải

a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC tính cosA: \(\cos A = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}\).

Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos A\).

Tính độ dài đường trung tuyến AM: \(A{M^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4}\).

b) Tính AI.

Phân tích \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AI} \left( {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {AB} } \right) = A{I^2} - \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} \).

Giải chi tiết

a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có: \(\cos A = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} = \dfrac{{{3^2} + {8^2} - {6^2}}}{{2.3.8}} = \dfrac{{37}}{{48}}.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos A = 3.8.\dfrac{{37}}{{48}} = \dfrac{{37}}{2}.\)

Độ dài trung tuyến AM là:

\(\begin{array}{l}A{M^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4} = \dfrac{{{3^2} + {8^2}}}{2} - \dfrac{{{6^2}}}{4} = \dfrac{{55}}{2}\\ \Rightarrow AM = \dfrac{{\sqrt {110} }}{2}.\end{array}\)

b) Vì \(3\overrightarrow {CI} = 5\overrightarrow {IA} \) nên \(\overrightarrow {IA} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow {CI} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {CI} \) là hai vectơ cùng hướng và \(IA = \dfrac{3}{5}CI\).

=> I nằm giữa A, C và \(AI = \dfrac{3}{8}AC = \dfrac{3}{8}.8 = 3.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AI} \left( {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {AB} } \right) = A{I^2} - \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} \\ = {\left( {\dfrac{3}{8}AC} \right)^2} - \dfrac{3}{8}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \\ = {\left( {\dfrac{3}{8}.8} \right)^2} - \dfrac{3}{8}.\dfrac{{37}}{2} = \dfrac{{33}}{{16}}\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.