Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm G và

Câu hỏi số 594234:

Vận dụng

Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm G và G’.

Chứng minh \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = 3\overrightarrow {G'G} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:594234

Phương pháp giải

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {GA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {GB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {GC} {\rm{ \;}} = \vec 0.\)

Giải chi tiết

Vì G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’ nên ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0}\\{\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \vec 0.}\end{array}\)

Với điểm M bất kì khác điểm G ta chứng minh: \(3\overrightarrow {MG} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} \)

Ta có:

\(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MG} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {GA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MG} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {GB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MG} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {GC} {\rm{ \;}} = 3\overrightarrow {MG} \)

Tương tự ta có: \(3\overrightarrow {MG'} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MA'} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB'} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC'} \)

Từ đó suy ra

\(\begin{array}{*{20}{l}}{3\overrightarrow {GG'} = 3\left( {\overrightarrow {MG'} - \overrightarrow {MG} } \right) = 3\overrightarrow {MG'} - 3\overrightarrow {MG} }\\{ = \overrightarrow {MA'} + \overrightarrow {MB'} + \overrightarrow {MC'} - \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} }\\{ = \left( {\overrightarrow {MA'} - \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MB'} - \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MC'} - \overrightarrow {MC} } \right)}\\{ = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} .}\\{ \Rightarrow \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = 3\overrightarrow {G'G} }\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.