Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm G và

Câu hỏi số 594234:

Vận dụng

Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm G và G’.

Chứng minh \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = 3\overrightarrow {G'G} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:594234

Phương pháp giải

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {GA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {GB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {GC} {\rm{ \;}} = \vec 0.\)

Giải chi tiết

Vì G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’ nên ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0}\\{\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \vec 0.}\end{array}\)

Với điểm M bất kì khác điểm G ta chứng minh: \(3\overrightarrow {MG} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} \)

Ta có:

\(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MG} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {GA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MG} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {GB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MG} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {GC} {\rm{ \;}} = 3\overrightarrow {MG} \)

Tương tự ta có: \(3\overrightarrow {MG'} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MA'} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB'} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC'} \)

Từ đó suy ra

\(\begin{array}{*{20}{l}}{3\overrightarrow {GG'} = 3\left( {\overrightarrow {MG'} - \overrightarrow {MG} } \right) = 3\overrightarrow {MG'} - 3\overrightarrow {MG} }\\{ = \overrightarrow {MA'} + \overrightarrow {MB'} + \overrightarrow {MC'} - \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} }\\{ = \left( {\overrightarrow {MA'} - \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MB'} - \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MC'} - \overrightarrow {MC} } \right)}\\{ = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} .}\\{ \Rightarrow \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = 3\overrightarrow {G'G} }\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10