Cho tam giác ABC: a) Xác định điểm I sao cho \(\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} -

Câu hỏi số 594235:

Vận dụng

Cho tam giác ABC:

a) Xác định điểm I sao cho \(\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

b) Xác định điểm D sao cho \(3\overrightarrow {DB} - 2\overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \).

c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.

d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:594235

Phương pháp giải

a) Chèn điểm A, sử dụng quy tắc ba điểm.

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + 3\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {AB} \end{array}\)

Lấy điểm E sao cho \(\overrightarrow {AE} = 2\overrightarrow {AC} \), điểm F sao cho \(\overrightarrow {AF} = 3\overrightarrow {AB} \), khi đó ta có;

\(2\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AF} = \overrightarrow {FE} \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {FE} \).

Ta xác định được điểm I như trong hình vẽ.

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {DB} - 2\overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} } \right) - 2\overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = 3\overrightarrow {BC} \end{array}\)

Ta xác định được điểm D như trong hình vẽ.

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {DC} = 3\overrightarrow {BC} \,\,\left( {cmt} \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {AB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {DA} = 2\overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {IA} \end{array}\)

=> A, I, D thẳng hàng.

d) Gọi N là trung điểm của BC ta có: \(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MN} \).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IB} - 2\overrightarrow {MI} - 2\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MA} - \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {MI} + \left( {\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - 2\overrightarrow {IC} } \right)} \right| = \left| {2\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MN} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = \left| {2\overrightarrow {NA} } \right|\\ \Leftrightarrow MI = NA\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I, bán kính R = NA.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10