Biết \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\cos }^2}x + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}

Câu hỏi số 594743:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\cos }^2}x + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = a\pi + 2b\). Tính P = a + b.

A. \(P = \dfrac{1}{2}.\)

B. \(P = - \dfrac{1}{4}.\)

C. \(P = \dfrac{5}{8}.\)

D. P = 1.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:594743

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\cos }^2}x + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \\ = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}xdx} + \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \\ = \dfrac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2x} \right)dx} - \left. {\cot x} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\\ = \dfrac{1}{2}\left. {\left( {x + \dfrac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\cot x} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\\ = \left. {\left[ {\dfrac{1}{2}\left( {x + \dfrac{1}{2}\sin 2x} \right) - \cot x} \right]} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\\ = \left[ {\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{1}{2}\sin \pi } \right) - \cot \dfrac{\pi }{2}} \right] - \left[ {\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{2}} \right) - \cot \dfrac{\pi }{4}} \right]\\ = \left[ {\dfrac{\pi }{4} - 0} \right] - \left[ {\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{1}{4} - 1} \right]\\ = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{3}{4}.\end{array}\)

\( \Rightarrow a = \dfrac{1}{8},\,\,b = \dfrac{3}{8} \Rightarrow P = a + b = \dfrac{1}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.