Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), \(M\) là trung điểm của \(BC\). \(ME\) vuông góc với \(AB\), \(MF\)

Câu hỏi số 594910:

Vận dụng cao

Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), \(M\) là trung điểm của \(BC\). \(ME\) vuông góc với \(AB\), \(MF\) vuông góc với \(AC\). Chứng minh:

a) \(AM\) là trung trực của của \(BC\);

b) \(ME = MF\) và \(AM\) là trung trực của \(EF\);

c) \(EF{\rm{ // }}BC\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:594910

Phương pháp giải

a) Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

b) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc, suy ra cặp góc tương ứng bằng nhau.

c) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó song song với nhau.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) \( \Rightarrow \)\(AB = AC\)

\( \Rightarrow A\) nằm trên đường trung trực của \(BC\).

Lại có: \(MB = MC\) ( Vì \(M\)là trung điểm của \(BC\))

\( \Rightarrow M\) nằm trên đường trung trực của \(BC\)

\( \Rightarrow AM\) là trung trực của của \(BC\)

b) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(\angle B = \angle C\).

Xét \(\Delta BEM\) và \(\Delta CFM\) có:

\(\angle BEM = \angle CFM = 90^\circ \)(gt)

\(BM = CM\) (\(M\)là trung điểm của \(BC\))

\(\angle B = \angle C\) (Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

Do đó: \(\Delta BEM = \Delta CFM\)(ch-gn) \( \Rightarrow ME = MF\) (hai cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow M\) nằm trên đường trung trực của \(EF\)

Ta có: \(BE = CF\) (vì \(\Delta BEM = \Delta CFM\))

\(AB = AC\) (vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

Do đó: \(AB - BE = AC - CF\) \( \Rightarrow AE = AF\)

\( \Rightarrow A\) nằm trên đường trung trực của \(EF\).

Suy ra: \(AM\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(EF\).

c) Ta có: \(AM \bot BC\)(\(AM\) là đường trung trực của \(BC\))

\(AM \bot EF\) (\(AM\) là đường trung trực của \(EF\))

Suy ra: \(EF{\rm{ // }}BC\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link