Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{dx}}{{1 + \sin x}} = \dfrac{{a\sqrt 3 + b}}{c}} \), với a, b \(

Câu hỏi số 595233:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{dx}}{{1 + \sin x}} = \dfrac{{a\sqrt 3 + b}}{c}} \), với a, b \( \in \mathbb{Z},\,\,c \in {\mathbb{Z}^ + }\) và a, b, c là các số nguyên tố cùng nhau. Giá trị của tổng a + b + c bằng:

A. 5.

B. 12.

C. 7.

D. -1.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:595233

Phương pháp giải

Biến đổi: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{dx}}{{1 + \sin x}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{1 - \sin x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \), tách thành hai tích phân.

Giải chi tiết

\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{dx}}{{1 + \sin x}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{1 - \sin x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)

\(A = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \left. {\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{6}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

\(B = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)

Đặt cosx = t

Vi phân: -sinxdx = dt.

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \dfrac{\pi }{6} \Rightarrow t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\).

Thay: \(B = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\dfrac{{ - 1}}{{{t^2}}}dt} = \int\limits_{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}^1 {\dfrac{1}{{{t^2}}}dt} = \left. { - \dfrac{1}{t}} \right|_{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}^1 = - 1 + \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{dx}}{{1 + \sin x}}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + 1 - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{3-\sqrt 3}}{3}\\ \Rightarrow a = 3,\,\,b = - 1,\,\,c = 3\\ \Rightarrow a + b + c = 5.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.