Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = mx + \dfrac{{36}}{{x + 1}}\) trên [0;3] bằng 20. Mệnh

Câu hỏi số 595698:

Vận dụng

Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = mx + \dfrac{{36}}{{x + 1}}\) trên [0;3] bằng 20. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(4 < m \le 8\).

B. \(0 < m \le 2\).

C. \(2 < m \le 4.\)

D. m > 8.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:595698

Phương pháp giải

Tính y’.

Chia trường hợp:

TH1: m \( \le \) 0.

TH2: m > 0, giải y’ = 0, lập BBT.

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = m - \dfrac{{36}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

TH1: m \( \le \) 0 => y’ < 0 => Hàm số nghịch biến trên [0;3]

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 3m + 9\).

\( \Rightarrow 3m + 9 = 20 \Leftrightarrow m = \dfrac{{11}}{3}\) (ktm).

TH2: m > 0 \( \Rightarrow y' = \dfrac{{m{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 36}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Giải \(y' = 0 \Leftrightarrow m{\left( {x + 1} \right)^2} - 36 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = \dfrac{{36}}{m}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = \dfrac{6}{{\sqrt m }}\\x + 1 = - \dfrac{6}{{\sqrt m }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 + \dfrac{6}{{\sqrt m }}\\x = - 1 - \dfrac{6}{{\sqrt m }} < 0\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

TH2.1: Nếu \(0 \le - 1 + \dfrac{6}{{\sqrt m }} \le 3 \Leftrightarrow \dfrac{9}{4} \le m \le 36\). Ta có BBT:

Dựa vào BBT \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( { - 1 + \dfrac{6}{{\sqrt m }}} \right) = - m + 12\sqrt m \).

\( \Rightarrow - m + 12\sqrt m = 20 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 100\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

TH2.2: Nếu \( - 1 + \dfrac{6}{{\sqrt m }} > 3 \Leftrightarrow m < \dfrac{9}{4}\). Ta có BBT:

Dựa vào BBT \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 3m + 9\).

\( \Rightarrow 3m + 9 = 20 \Leftrightarrow m = \dfrac{{11}}{3}\) (ktm).

Vậy m = 4.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.